专题九-几何计算与证明专题训练.doc

重庆市徐悲鸿中学初2015级专题训练几何计算与证明专题几何题中的计算与证明，中考中占非常重要的地位，它重点考查学生的观察推理、分析问题和解决问题的能力。从历年重庆中考试题来看，这类题目难度较大，需要添加辅助线才能完成，属于较难题。常考的知识点具有综合性，通常包括全等三角形、特殊三角形、四边形、线段垂直平分线和角平分线性质和判定等相关知识。第1课时证明线段相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1 已知，如图，AB=AC，BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F，求证：DE=DF.思路分析：首先想到证明DE和DF所在的三角形DEGDFC，但差一个全等的条件，结合已知AB=AC，DB=DC，自然会想到作辅助线AD来搭桥。证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例2. 如图所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KHBC 分析：由已知，BH平分ABC，又BHAH，延长AH交BC于N，则BABN，AHHN。同理，延长AK交BC于M，则CACM，AKKM。从而由三角形的中位线定理，知KHBC。中考演练1已知，如图所示，ABC中，C=90，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上一点且AE=CF. 求证：DE=DF.2已知，AB=AC，A=90，AE=BF，BD=DC. 求证：FDED.3已知，RtABC中，ACB=90，CAB=30，分别以AB、AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE，(1)如图1，连接线段BE、CD，求证：BE=CD；(2)如图2，连接DE交AB于点F，求证：EF=DF. 图1 图24如图，菱形ABCD中，ABC=60，E是BC延长线一点，F是对角线AC上一点，AF=CE，连接BF、EF，(1)若AB=4，点F是AC的中点，求BF的长；(2)若点F是AC边上任意一点(不与A、C重合)，求证：BF=EF.5在RtABC中，ACB=90，点D为AB的中点，连接CD，点E为AC上一点，过点E作EFAB，交CD于F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG.(1)求证：EF=CF；(2)求证：FGDG.第2课时线段的和差问题的证明（截长补短法）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例1（截长法）已知：如图所示，在中，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O。求证：ACAECD 。 分析：在AC上截取AFAE。易知AEOAFO，可得1=2；由B=60 ，知5+6=60 ，1=60 ，2+3=120 ，故1=2=3=4=60 ，从而得FOCDOC，所以FC=DC. 例2. （补短法）已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，。 求证：EFBEDF 分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BGDF。中考演练1如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是经过点A的一条直线，交BC于点F，且B、C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E，求证：BD=DE+CE.2如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得E=B，过D作DHAE于H，(1)若AB=10，DH=6，求HE的长；(2)求证：AH=CE+EH.3如图，等边ABC中，点E、F分别是AB 、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边EPQ，连接FQ、EF；(1)若等边ABC的边长为20，且BPE=45，求等边EPQ的边长；(2)求证：BP=EF+FQ.4在四边形ABCD中， AC、BD是对角线，且AB=AC，ABD=60，ADDE交AC于点E，且DE平分BDC，求证：AC=BD+DC.5已知，如图所示，在ABC中，B=60，BAC、BCA的角平分线AD、CE相交于O，求证：AC=AE+CD.6.平行四边形ABCD中，AEBC，E是BC的中点，tanB=2，P是BC上一点，连接DP，过E 作EFPD， 垂足为F，连接AF（1）求证：AD=AE （2）求证：DF=AF+EF7如图，在ABC中，ACB=45，AD是ABC的高，在AD上取点E，使得DE=DB，连接CE并延长，交边AB于点F，连接DF (1)求证：AB=CE；(2)求证：BF+EF=FD.8平行四边形ABCD中，BD为对角线，E为BC边上一点，DE平分，过C作CFDE于F，G为BC中点，连接AG，GF。(1)若ABBD，求CF的长； (2)求证：第3课时角度问题的证明与角度有关的证明或计算，往往与全等三角形、特殊三角形(如等腰三角形、等边三角形和直角三角形)以及平行线的判定与性质有关。有些涉及到角的和差等问题，其证明方法与证明线段的和差的方法类似。角度的计算问题例1. 如图（一）：在等边ABC中，E是AC上一点，D是AB上一点，连接BE、CD交于点P，DPB=60.(1)求证：AD=CE.(2)如图（二）：连接AP，若BP=2CP，求APB的度数.分析：由已知DPB=60推断APD=30，而APD=CAP+ACP=CAP+CBP，再结合条件BP=2CP，因此取PB的中点M并连接CM是最容易想到的方法。 角度的和差问题例2已知如图，在菱形ABCD中，COBD，垂足为点O，E为BC上一点，F为AD延长线上一点，EF交CD于点G，EGFGDG，连接OF。(1)若DG5，OC8，求BD的长； (2)求证：OFG=90-BEF.分析：要证明(2)中的结论，可转化为证明2OFG=180-BEF=EFC即可，而EFC=DFC，故本题转化为证明OFD=OFE。由已知条件可得G是CD的中点，作辅助线OG，结合RtOCD，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形中位线性质，结论可证。中考演练1.如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，BFCD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6 （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且HDF=E，连接CH，求证：BCH=45-EBC2. 如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，过A作AFAE交CB的延长线于F，连接EF，取EF的中点P，连接AP、BP（1）若AB = 6，DAE = 30，求四边形ABCE的面积；（2）求证：3. 正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AFBE，交CD边于F，M是AD边上一点，且BMDMCD 求证：点F是CD边的中点； 求证：MBC2ABE4已知等腰RtABC中，ACB=90，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过C作CFAG，垂足为E，过点B作BFCF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF.(1)若CAG=30，EG=1，求BG的长； (2)求证：AED=DFE.5在等腰RtABC中，ABC=90，AB=BC，D为斜边AC延长线一点，过D作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使BF=CE，连接EF.(1)若AB=2，BF=3，求AD的长度；(2)G为AC的中点，连接GF，求证：AFG+BEF=GFE.6如图，在ABCD中,点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME.（1）若AM=2AE=4，BCE=30,求ABCD的面积；（2）若BC=2AB，求证：EMD=3MEA. 第4课时线段的倍分问题这类问题常常与中点结合。常见的与中点有关的性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行且等于第三边的一半；等腰三角形“三线合一”性质；过三角形一边上的中点且平行另一边的直线平分第三边(可用相似简单证明)等。有时可以采用与“截长补短”类似的做法，将长线段“折半”或将短线段“加倍”来加以证明。 例 如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，CDAB于点D，E、F分别为BC、AB上的点，AECF于点G，交CD于点H.（1）求证：AH=CF；（2）若CE=BF，求证：BE=2DH.图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 分析：方法一：直接“折半”法，如图(1)，取BE的中点M，只需证明DH=ME即可；方法二：间接“折半”法，如图(2)，取AE的中点M得MD是ABE的中位线，只需证明DM=DH即可；方法三：直接“加倍”法：如图(3)，延长HD使HD=DM，只需证MH=BE即可；方法四：间接“加倍”法：如图(4)，作MBAB于B交AE的延长线于M，可用相似性质得H是AM的中点，从而DH是ABM的中位线，只需证明BE=BM即可；方法五：构造法，如图(5)，由题(1)知DH=DF，故在AD上取DM=DF，证MF=BF即可，由于CE=BF，故问题转化为证BC=BM。中考演练1如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点，求证：DM=AB.2已知：如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，AB=AC，BD平分ABC且BDCD，OEBC于E，OA=1(1)求OC的长；(2)求证：BO=2CD3如图所示，ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分CBD，AFBE，分别交BC、BE、BD于点F、G、H.(1)求证：CF=2DH；(2)若AB=BC，BD=BC，DE=4，求BD的长.4如图，平行四边形ABCD中，的平分线交于点，于。（1）求证：.（2）若，求的长。5如图，在RtABC中，BAC=90，点E是BC的中点，AD平分BAC，BDAD于D.(1)求证：ADE=BDE；(2)过点C作CGAD于点G，交AB于点F，求证：DE=BF.6如图，在ABC中，ABC=90，过点C作AC的垂线CE，且CE=CA，连接AE、BE.(1)若tanBAC=，AE=2，求四边形ABCE的面积；(2)若EA=EB，求证：AB=2BC.第5课时 综合演练1如图，等边ABC中，AO是BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边CDE,连结BE. (1) 求证：ACDBCE； (2) 延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ使CPCQ5, 若BC8时，求PQ的长. 2在矩形ABCD中，E为AB边上一点，点F在AD边上，且AE=DF,AF=CD，连接线段CE、EF、CF,点G是线段CE的中点，点M是线段EF上一点,过点G作GNGM，交CF于点N.(1)求证：AEFDFC; (2)求证:ME=NF.3在ABC中，AB=AC，延长BC到D，使BD=2BC，连接AD，过C作CEBD交AD于点E，连接BE交AC于点O.(1)求证：CAD=ABE; (2)求证：OA=OC.4如图，在菱形中，点、分别是、上一点，连接、，且。（1）求证：；（2）若，点是线段的中点，连接。求证：。5如图，点E为矩形ABCD外一点，DEBD于D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G，连接EF交BD于H。 (1) 若CDE=DEH=HEC，求ABG的度数；(2) 求证：H为EF的中点.6在平行四边形ABCD中，对角线与的角平分线交于点E，过E作EFAD分别交AC，DC于G，F，过E作EHAB分别交AC，AD于K，H. （1）若，CF = 2，求EG的长； （2）求证：.7如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点F在BC的延长线上，过点B作BD的垂线交DE的延长线于点H，连接FH、BE.(1)求证：DE=BE.(2)求证：BHF为等腰直角三角形.(3)若HF=10，tanEHF=，试求CD的长？8.如图，在ABC中，BAC=90，取BC中点D，连接AD，BE是ABC的角平分线交AD于点E，在BC上取一点F，使得BFE=BAE，连接AF.(1)证明：AB=BF；(2)证明：.9已知，在等边三角形ABC中，AOBC于O，D为AO的中点，连接CD，过O点作EMAB交CD于M，交AB的垂线BE于点E，连接CE. （1）证明：DCE=60;（2）证明：AB=3OM.第1课时中考演练1提示：连接CD，证CDEBDF或AEDCFD2提示：连接AD，证AFDCED得ADF=CDE3提示：（1）证ABEADC即可；（2）作DHAB于H，由CAB=30得DH=AE=BC，再证AEFHDF即可4（1）BF=； （2）提示：连接DE，证ABFCDE5（1）由ACB=90，D是中点得CD-AD，DCA=A，EFAB，A=FEC，EF=CF（2）提示：延长FG交BD于H，先证EFGBHG得BH=EF=CF，FG=HG，DB=DC，DH=DF，DGFG第2课时中考演练1提示：证ABDCAE，则BD=AE，AD=EC2（1）HE=2； （2）提示：作DGCE交CE延长线于G，证ADHCDG，得AD=CG，DH=DG，再证DHEDGED得HE=EG3（1） （2）提示：取BC的中点G，连接EG，证EPGEGF，再证BG=EF，GP=FQ4提示：延长BD至F，使DF=DC，延长ED交AF于G，证ADCADF5提示：在AC上取AF=AE，连接OF，先证AOEAOF，得AOE=AOF=COD=60，再证COFCOD6（1）略； （2）提示：作AGAF交DP于G，证AEFADG，得EF=DG，FG=AF7（1）提示：证ADBCDE； （2）提示：作DGDF交CE于G，由(1)知BD=ED，BAD=ECD，ADF=CDG，可证BDFEDG，得BF=EG，FG=DF8（1）； （2）提示：延长CF交DB于H，可证CD=DH=AB，BH=2GF第3课时中考演练1（1）连接BD，证ADGFDE，再证ADBFDB，得AB=BF=，ADB=FDB=DBC，CD=BC=； （2）提示：2BCH=BCF=90-EBC2（1）； （2）提示：连接C，先证ADEABF，得AF=AE，再证ABPCBP，得ABP=45，90-BAP=45+BPF，BPF=45-BAP3（1）提示：证ABEADF； （2）提示：连接MF并延长交BC延长线于G4（1）； （2）提示：连接CD，证ACECBF，得AE=CF，再证ADECDF即可5（1）； （2）提示：连接EG，BF，证CEGBGF6（1）； （2）提示：延长EM交CD延长线于N，连接CM第4课时中考演练1提示：取AB中点N，连接DN，MN2（1）； （2）延长CD、BA相交于F，证AOBFAC，得BO=CF=2CD3（1）取CF中点M，连接DM，证BH=BF，BD-BM，则DH=FG=CF； （2）4（1）提示：延长AM交BC于N，连接CM，则CM平分ACB，可证CE=CN-BC=AD，AD=2CE（2）提示：由AMF与CAN相似得AM=5（1）提示：AD平分BAC，ADBD，得ABD=BAD=45，AD=BD，由E是中点，则BE=AE，BAE=ABE，EAD=EBD，ADEBDE，ADE=BDE；（2）提示：连接EG，证EGD=AFC=45=ADE，由中位线可得结论6（1）； （2）提示：作EMBC的延长于M，ENAB于N，证ABCCME，得BC=EM，由EMBN是矩形得，EM=BN，EA=EB，AB=2BN=2EM=2BC第5课时中考演练1（1）略； （2）提示：作C