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第 12 讲 10 不变子群、商群 （Normal subgroup, Quatient group）本讲的教学目的和要求：在前一讲中，我们已经知道群的每一个子群都能“引导”出一批陪集，这些陪集构成的集合（或）可以构成的陪集分解：.那么是否可以成为一个群呢？如果成群，对有什么特殊的要求吗？本讲正是以这个问题为中心而展开的。为此，要求在本讲的学习中注意下列问题：1、掌握不变子群的特性，尤其是不变子群的等价定义。2、商群的证明方法。3、围绕着不变子群和商群而形成的常见几类例子以及几个思考问题。本讲的重点和难点：由于在讨论不变子群成立的等价条件时，要用到陪集的一些性质，所以在这里往往会感到棘手一些。另外商群的形成，由于元素都是子集；多少都会带来一些不习惯的感觉。一、 不变子群概念的引入问题：若是的子群且, 那么“”成立吗?为什么?答：不成立。如三次对称群，是的子群。，而，.定义2.10.1：设是的子群，如果对于中任一个元，都有，那么称为的不变子群，记做。一个不变子群的左（或右）陪集叫做的一个陪集。注：不变子群也叫正规子群。例1 是群，是的单位元。则和是的不变子群。例2 令。则是的不变子群。（P62定理1）。 ，对的运算封闭，。称是的中心。例3 交换群的每一个子群都是的 不变子群。例4 ，不是的不变子群。但是的不变子群。事实上，是的子群。并且,。注：是两个集合相等，与不同。定义2.10.2设都是群的非空子集，则集合叫做的积，记为。由于的运算满足结合律，所以，并且和有意义。二、不变子群的基本性质定理2.10.3（p72，定理1、2）设是的子群，那么以下条件是等价的（1）（2）（3）（4）证明： 。. .注：上述四个条件中条件（4）是用元素的形式来表达含义的，比较具体些，故实际操作中，（4）的使用比较方便。例5 模n剩余类加群。是0的陪集。而是一个加群：。就是说0的所有陪集构成一个加群。一般的，我们有：定理2.10.4：设，那么关于运算做成一个群。证明：设。首先。其次证明是中定义的一个代数运算。如果又有使.且.须证.事实上，,即。.这说明，运算与代表元的选择无关。第三、由群的子集乘法定义直接可得结合律成立。第四、是单位元，最后有逆元。所以是一个群。我们称为关于的商群，并记为。若，当是的不变子群时，则由p69，定理2得注意：上述讨论中，我们都用的是乘群，如果是加群时，则符号要做相应的改变，即从变成。思考题： 1：若的子群且.则的不变子群.(P74.Ex3)证：.若.即.若.则且.又有且.(都是的陪集分解),于是.故不论如何都有 .2、我们知道“子群”的概念具有传递性若的子群， 的子群，那么的子群。 “不变子群”是否也具有传递
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