美国大学的留学申请问题模型-张悦舟

1 数数 学学 建建 模模 竞竞 赛赛 论论 文文 论文题目 美国大学留学申请问题模型 参赛队员信息 姓名年级专业 参赛队员 1张悦舟2010 级数学与应用数 学 参赛队员 2景茂轩2010 级数学与应用数 学 参赛队员 3张丽君2010 级数学与应用数 学 2 摘要 本文主要研究美国大学的留学申请问题 通过对申请人的具体情况进行分 析 结合往年美国各大学的录取数据 建立数学模型 帮助申请人合理地申报 学校 问题一 我们通过层次分析法 使用判定矩阵计算出了是否跨专业 GPA GRE 分数 托福分数以及班级 专业排名这五项影响因素对大学录取学生 的影响权重 再给出了各项影响因素的评分标准 结合申请人的实际情况算出 了该生的综合素质分 接着算出申请人的备选学校历年录取学生的平均综合素 质分 通过正态统计模型计算出了该申请人被录取的概率 并通过华盛顿大学 的案例进行说明 此外 增加了申请人是否发表过相关专业论文和是否参加了 竞赛并获奖两个影响因素 进行了模型扩展 问题二 我们建立了在有限的资金约束下 使申请人至少被一所大学录取 的概率最大化的最优化模型 通过对一名学生的实际情况和美国大学历年录取 数据进行比较 选出 12 所备选学校 用问题一的模型计算出了该学生被各个大 学录取的概率 再使用该最优化模型得出了该学生的最佳申请方案 问题三 首先我们将申请模型分为冲刺层级和保底层级 保底层级的学校 选择是在保证一定录取概率的约束下 使申请费最小化的优化模型 总资金除 去在保底层级的申请费用后用于冲刺层级学校的申请 然后用问题二的优化模 型得出最佳的冲刺方案 并通过实例加以说明 本模型不仅可以计算出申请人被录取可能性 还可以通过录取判定标准合 理地制定学习计划 提升个人综合素质水平 增加留学成功的几率 关键词 层次分析法 影响权重 最优化模型 正态统计模型 3 一 问题重述 现在 越来越多的学生选择去海外留学 尤其是美国 校园中随处可见考托 福 考 GRE 的身影 申请的程序很繁杂 录取的时候影响因素也很多 现考虑 申请美国研究生的同学 包括硕士研究生 master 和博士研究生 Ph D 建立一个模型 帮助申请人做结果的定性和定量评估 问题一 一个申请人是否能够被录取 需要考虑很多因素 在假设一个申请 人只能申报一个学校的前提下 现根据申请的专业 他 她的平均成绩 GPA 托福分数 GRE 分数 班级 专业排名五个影响因素建立模型 来计算一个申请 者录取的可能性 如果一个申请人曾经发表过相关专业的论文 或是参加了一 些竞赛并获奖 例如全国大学生数学建模竞赛 美国大学生数学建模竞赛 电 子设计竞赛等 这样他 她就会比其他人更有优势 从而拿到 offer 考虑 这两个因素 进而改善模型 问题二 大多数情况下 一个申请人会同时申请多个学校 申请的学校越多 获得录取的可能性也就越大 如果一个申请人认为只要能拿到一个录取就算是 成功的 在资金有限的情况下 分析应该申请的学校个数 问题三 几乎所有的申请人都想拿到美国顶尖学校的录取通知 可是学校的 排名越高 获得录取的可能性就越小 根据模型 写一份分析报告 帮助申请 人合理的选择学校 二 问题分析 每年都会有申请国外留学的同学因为错估自己的录取水平导致学校选择的不 合理 以至于错过了海外留学的机会 所以我们要通过建立关于留学申请问题 的数学模型 来帮助申请人能成功出国留学 而在申请过程中 往年各学校的 信息是最重要的参考 我们需要根据往年的数据来正确评估申请人的录取水平 三 模型假设 1 美国各大学近年来录取条件 招生政策没有发生变化 2 美国各大学对申请人的吸引力没有发生变化 3 申请人通过报纸 网络等渠道获得的信息是全面并且权威的 4 申请人申报学校时不受家庭等因素的影响 5 申请人的成绩服从正态分布 四 符号说明 A1 表示申请的专业 A2 表示他 她的平均成绩 GPA A3 表示 GRE 分数 A4 表示托福分数 A5 表示班级 专业排名 A6 表示发表过相关专业的论文 4 A7 参加了一些竞赛并获奖 C 学生的总预算约束 z 达到 99 录取率所用的最小费用 CI 一致性指标 RI 平均随机一致性指标 i C 第 i 个学校所需要的总申请费用 五 问题一解决方案 根据题意 一个申请者录取的可能性受到诸多因素的影响 而且 由于学校 的不同 各个因素对录取可能性的作用大小也不同 显然 这是一个多目标决 策问题 无法通过足够的数据进行量化计算 根据以上分析 我们可以采用层 次分析法 层次分析法是将于决策总是有关的元素分解成目标 准则 方案等层次 通 过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据的 决策方法 下面我们根据题目要求 利用层次分析法来对留学申请问题建立数学模型 1 1 模型建立模型建立 模型一 1 建立留学申请问题的层次结构图 是否录取学生是否录取学生申请申请 的专的专 业业 A1 平均平均 成绩成绩 A2 G R E 分数分数 A3 托福托福 分数分数 A4 班级班级 专业专业 排名排名 A5 评估学生素质评估学生素质目标层目标层中间层中间层评估层评估层 2 构造各个层次中的判断矩阵 为了确定抽象因素的影响程度 必须主观给出各准则在目标衡量中所占的比 重 将决定性分析定量化 在留学申请问题中 我们可以采取所有影响因素两 5 两比较建立成对比较矩阵的办法 构造判断矩阵的方法是 每一个具有向下隶属关系的元素 被称作准则 作 为判断矩阵的第一个元素 位于左上角 隶属于它的各个元素依次排列在其后 的第一行和第一列 重要的是填写判断矩阵 填写判断矩阵的方法有 大多采取的方法是 向填写人 专家 反复询问 针对判断矩阵的准则 其 中两个元素两两比较哪个重要 重要多少 层次分析法对重要性程度按 1 9 赋 值 重要性标度值见下表 重要性标度含义表重要性标度含义表 重要性标度重要性标度含含 义义 1 1 表示两个元素相比 具有同等重要性 3 3 表示两个元素相比 前者比后者稍重要 5 5 表示两个元素相比 前者比后者明显重要 7 7 表示两个元素相比 前者比后者强烈重要 9 9 表示两个元素相比 前者比后者极端重要 2 2 4 4 6 6 8 8表示上述判断的中间值 倒数倒数若元素 I 与元素 j 的重要性之比为 aij 则元素 j 与元素 I 的重要性之比为 aji 1 aij 因此 n 阶判断矩阵 A 具有如下特征 jkikij jiij ii aaa aa a 1 1 应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的 只要矩阵中的 aij 满 足上述三条关系式时 就说明判断矩阵具有完全的一致性 有关一致性的检验 RI CI CR n n CI 1 其中 是判断矩阵的最大特征值 n 是判断矩阵的阶数 判定方法 一致性指标 C I 的值越大 表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大 C I 的值越小 表明判断矩阵越接近于完全一致性 平均随机一致性指标 R I 值需要通过查表得到 平均随机一致性指标平均随机一致性指标 R I R I 表 表 10001000 次正互反矩阵计算结果 次正互反矩阵计算结果 矩阵阶数矩阵阶数 12345678 R I R I 000 520 891 121 261 361 41 矩阵阶数矩阵阶数 9101112131415 R I R I 1 461 491 521 541 561 581 59 6 当 CR A A 为学校的要求 20 A 5 TOEFL A10 A4 TOEFL TOEFL A 50 50 0 则我们就可以得出算个人得分的公式如下 50551 0 41073 0 31182 0 23855 0133 0 AAAAA 其中 A1 A2 A3 A4 A5 分别对对应项的得分 现在模型中个人的得分标准就建立起来了 下面谈论如何计算其概率 假设所有申请人的得分服从 2 NX 现在每个学校的期望 和方差都是不同的 那么某得分为 S 的同学申请成功的概率为 us SxF 至此对于一个成绩为 S 的学生申请一个学校 iii A 的模型就基本建立完成 案例 我们以华盛顿大学为例 其历年的 GPA 与 GRE 情况如下 历年 GPA 统计表 8 时 间 2001 02 2002 03 2003 04 2004 05 2005 06 2006 07 2007 08 2008 09 2009 10 2010 11 历年平 均 GP A 分 数 3 49 76 3 50 3 51 3 55 3 54 3 55 3 55 3 55 3 55 3 563 54 历年 GRE 统计表 时 间 2001 02 2002 03 2003 04 2004 05 2005 06 2006 07 2007 08 2008 09 2009 10 2010 11 历年平 均 Ve rb al Sc or e 558 82 555559556555555561555560564557 88 Qu an ti ta ti ve Sc or e 641 28 647652652656658659665669674657 33 An al yt ic al Sc or e 637 15 648661647652636643606631646640 72 9 则我们按上面的评分标准可以估算出其期望的得分为 70 15 其中我们假定有 1 3 的人跨专业 不相关联 有 1 3 的人选择本专业 则 专业平均得分为 15 分 认为申请的人几乎都排在前百分之三十内 故得分为 15 分 托福得分认为平均为 10 分 假设其得分 2 NX 其中 70 15 3 若现在申请人小明的申请 条件如下 条件 申请人 是否为本专 业 GPAGRETOEFL 班级排名 小明是 3 821920100 前百分之三 则按上述的标准可以计算出小明的得分为 10225 19200551 0 201073 0 24001920201182 0 482 3203855 02033 0 那么该同学被华盛顿大学录取的概率为 8708 0 13 1 3 70 1510225 19 p 从而他被该学校录取的概率为 87 08 3 3 模型扩展 模型扩展 现在对模型进行扩展 加入 A6 A7 两个变量 通过层次分析法得出其正互反 矩阵 判断矩阵 为 15441 216551 1 211 311 3264411 1153311 2 1 3 1 2 1 5 1 6 1 2 1 3 1 6 1 5 1 4 1 5 1 4 1 3 1 4 1 5 1 4 1 3 1 A 通过 MATLAB 计算求的其最大特征值与特征向量为 将其单位一致化后得到 0 16130 22500 03210 05450 05890 28200 1866 3612 0 5053 0 0721 0 1223 0 1322 0 6332 0 4191 0 2607 7 经计算查表得各项指标为 10 1 00319 0 36 1 7 04345 0 6 72607 7 RI CI CR nRI CI 根据已知的判断标准 符合一致性检验 其特征向量可以用作权向量 则其分 布如下表 决定因素所占权重 A1 表示申请的专业 18 66 A2 表示他 她的平均成绩 GPA 28 20 A3 表示 GRE 分数 5 89 A4 表示托福分数 5 45 A5 表示班级 专业排名 3 21 A6 表示发表过相关专业的论文 22 50 A7 参加了一些竞赛并获奖 16 13 现在给出 A6 A7 的判别标准如下表 评分项属性得分 在国际期刊上发表 20 在国内期刊上发表 15 在校内期刊上发表 10 A6 是否发表过相关专业的论文 没发表 0 获得国际上的竞赛奖励 20 获得国内的竞赛奖励 15 获得校级竞赛奖励 10 A7 是否参加了一些竞赛并获奖 没获得奖励 0 则可以按照此扩展模型算出任意一个学生的录取率 在此不在详细叙述 方法 同上 五 问题二 根据题意 我们需要在申请人资金有限的情况下 帮助其获得最大的录取率 这是一个最优化问题 我们的目标是最大化其录取概率 被一所录取就可以 最优化问题 主要是指以下形式的问题 给定一个函数 寻找一个元素使 得对于所有 A 中的 最小化 或者 最大化 根据分析 这是一个 0 1 非线 性规划问题 模型二 那么约束条件下极值问题的数学模型就为 目标函数 11 1 max1 1 n i i i z pX 约束条件 CCX n i ii 1 1 0 i X 说明 这个是广义的模型 其中 C 是个人总的预算 i C 是第 i 个学校的申请费用 i p 是第 i 个学校的成功率 对于不同的学校 带入个人成绩 S 后可以计算出 i p 然后便可以通过 EXCEL 带入具体数据后计算 我们假设该学生打算往商科方向发展 我们搜集了一些学校商科的数据 设该学生数据如下 条件申请人是否为本专 业 GPAGRETOEFL 班级排 名 预算约 束 小红是 3 53239910 5000元 假设所有学校方差都为 1 那么由第一问的结论和方法我们可以算出该生在 不同学校的成绩以及他被录取的概率如下表 大学 名称 申 请 费 美 元 平均 绩点 托 福 要 求 平 均 GRE 该校录 取学生 综合素 质平均 分 该生托 福达标 分 该生综 合素质 分 录取该 校概率 申请总费 用 资料 寄送费 200元 芝加 哥大 学 753 5110432515 891515 470 336663 665 麻 省理 工学 院 753 5210032815 932014 790 275663 665 哥伦 比亚 大学 803 5010032615 881515 280 276694 576 12 达 特茅 斯学 院 803 5210032715 921515 050 193694 576 耶鲁 大学 753 5210032815 931514 790 129663 665 德 州农 工大 学 653 508031715 812016 940 869601 843 罗彻 斯特 大学 603 4610032015 761516 140 647570 932 天普 大学 703 467931415 712017 140 922632 754 南卫 理公 会大 学 653 498031715 792016 940 873601 843 亚利 桑那 大学 753 456131615 712017 010 903663 665 康涅 狄格 大学 753 517931415 812017 140 907663 665 迈阿 密大 学 653 538031715 872016 940 856601 843 我们通过 EXCEL 计算出当我们的预算约束为 5000 时最优化的选择 见下表 被录取的概率 0 999999406 变量x 0 1 概率费用 芝加哥大学 00 336663 665 麻省理工学院 00 275663 665 哥伦比亚大学 00 274694 576 达特茅斯学院 00 193694 576 耶鲁大学 00 129663 665 德州农工大学 10 869601 843 罗彻斯特大学 10 647570 932 天普大学 10 922632 754 南卫理公会大学 10 873601 843 13 亚利桑那大学 10 903663 665 康涅狄格大学 10 907663 665 迈阿密大学 10 856601 843 使用经费约束条件 4336 55000 通过表格 可以看出在 5000 元的预算约束内应该选择的学校有德州农工大 学 罗彻斯特大学 天普大学 南卫理公会大学 亚利桑那大学 康涅狄格大 学 迈阿密大学这 7 所学校 共计花费 4336 5 元 六 问题三 1 模型建立 鉴于我们第一问和第二问建立的模型 我们对第二问的学生 按第二问的成 绩进行分析 为此我们要扩展一下第二问的模型 一般来说 一个学生报考学 校总会分层级报考 他会在有限的资金约束下试着冒险一番 报考几个难度比 较大的学校作为冲刺选项 然后报考几个比较稳的学校作为保底 那么我们就 将模型分为两个层级 第一个层级是冲刺层级 第二个层级是保底层级 我们 在给定的预算约束下首先对保底层级的学校进行模型二的优化 我们认为当概 率达到某个值 我们设定为 99 的所用的最少费用 模型如下 模型三 1 0 99 0 1 1 min 1 1 1 i n i ii i n i i i n i i X Xp CCX ts CXz 这个模型其实是模型二的对偶模型 我们通过这个模型可以算出保底层次的 最低费用 z 则我们用在冲刺层次学校的费用应为 C z C 为总的预算约束 然 后我们知道对于冲刺层次使用的费用后就可以用问题二的最优化模型算出冲刺 层次学校在固定预算约束下的概率最大化选项 若模型三无解 则说明达不到 我们的概率要求 则直接使用模型二进行求解 放弃掉冲刺学校的选择 2 模型求解 14 个人数据如下 条件申请人是否为本专 业 GPAGRETOEFL 班级排 名 预算约 束 小兰是 3 53239910 3500元 则有我们第一问的和第二问的模型可以得出如下表的数据 第一档次 学校名称 申请 费 美 元 平均 绩点 托 福 要 求 平 均 gre 该校 录取 学生 综合 素质 分 该 生 托 福 达 标 分 该生 综合 素质 分 被录取 概率 申请总费 用 资料 寄送费 200元 哈佛大学 753 6610032916 211514 490 043663 665 麻省理工 大学 753 5210032815 931514 790 129663 665 斯坦福大 学 903 710033016 291514 120 015756 398 耶鲁大学 753 5210032815 931514 790 126663 665 第二档次 学校名称 芝加哥大 学 753 5110432515 891515 470 336663 665 哥伦比亚 大学 803 510032615 881515 280 274694 576 罗彻斯特 大学 603 4610032015 761516 140 647570 932 迈阿密大 学 653 538031715 872016 940 856601 843 德州农 工大学 653 58031715 812016 940 869601 843 康涅狄格 大学 753 517931415 812017 140 907663 665 南卫理公 会大学 753 498031715 792016 940 873663 665 15 我们通过模型二和模型三得出下表 最小费用 1774 6 0 99 目标函数 最大 概率 0 240656164 变量 哈佛大学 00 043663 665 麻省理工大学 10 129663 665 斯坦福大学 00 015756 398 耶鲁大学 10 129663 665 使用金额 1327 3 1725 4 由上表我们可以看出 在保底学校中我们保证达到录取率 99 以上所用的最 小费用为 1174 6 元 这时我们选择申请的学校是罗彻斯特大学 迈阿密大学 德州农工大学 此时至少被其中一所所录取的概率为 99 3 然后我们把剩余 的 1725 4 元全部投入到冲刺学校中 选择可能性最大的组合为麻省理工大学和 耶鲁大学 至少被其中一所录取的概率为 24 0 综上 小兰可以将钱分为两 部分 用 1174 6 元投入在罗彻斯特大学 迈阿密大学 德州农工大学的申请上 然后用 1327 3 投入给麻省理工大学和耶鲁大学 这样即保证了基本上会被保底 的学校录取并且也能有余力冲刺更好的大学 我们知道 耶鲁大学和麻省理工大学在美国众大学中排名靠前 耶鲁大学在 美国大学本科排名第三 麻省理工大学排名第六 而且这两所大学在世界大学 中排名前十 学校不仅环境优美 综合实力也是处于顶级水平的 学校的录取 条件较高 但是每年 都有许多的优秀学子申请入学 竞争激烈 所以录取率 比较低 而罗彻斯特大学 迈阿密大学 德州农工大学相比于上面两所大学来 说 竞争强度有所减弱 被录取的概率就相对较高 对于申请人 最终的目标是申请到合适的大学 因此 我们建议 如果申请 人的各项成绩都处于较高的水平 还能在某些学术类刊物上发表论文或者说是 参加竞赛并获奖的话那么可以选择像耶鲁大学 麻省理工大学这类高排名的美 国大学进行申报 在资金充沛的情况 可以多选择几所学校进行申报 而如果 申请人对自己的各项成绩不是十分自信并且资金不是特别充裕 我们推荐像罗 16 彻斯特大学 迈阿密大学这类排名的学校进行申报 被录取的可能性会相对较 大 七 模型的评价 模型的优点 1 层次分析法通过化模糊为具体的方式将模糊的判定标准数值具体化 是我 们能够构造一种量化的方式来评价学生的水平 2 模型二通过概率最大化保证了该学生被录取的最大可能性 并且还能融入 该学生的个人偏好 将其偏爱的学校的 Xi 固定为 1 再求其剩余学校的最大录取 概率同样是可行的 模型二的优点就在于通过完全数学化的假设几乎能容纳所 有能够考虑的实际情况 3 对于第三问模型二和模型三的结合能够保证一种更加实际的筛选过程 在 保证学生几乎能够被录取的情况下冲刺更好的学校更符合我们的实际情况也更 能满足考生的个人偏好 模型的缺点 1 第一问的假设中假设学生成绩为正态分布是由于缺乏学生个体数据 美国 学校对个人数据都是有保密措施的 没办法进行假设检验 导致录取率会有偏 离 2 层次分析法本身的主观性导致的权重分析不准确 3 模型三由于最低概率的设定不同会导致结果不同 这个本应该有个人选择 但由于缺乏数据只能人为定义 八 参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 第三版 北京 高等教育出版社 2003 年 2 刘保柱 张宏林 MATLAB7 0 从入门到精通 北京 人民邮电出版社 2010 年 3 啄木鸟教育 美国留学 17 九 附录 第一问 A 1 1 3 3 5 1 1 4 4 6 1 3 1 4 1 1 3 1 3 1 4 1 1 2 1 5 1 6 1 3 1 2 1 V D eig A V 0 6170 0 2789 0 4140i 0 2789 0 4140i 0 6802 0 6802 0 7208 0 7898 0 7898 0 5128 0 4223i 0 5128 0 4223i 0 2210 0 1467 0 2820i 0 1467 0 2820i 0 0967 0 1114i 0 0967 0 1114i 0 2006 0 0362 0 0648i 0 0362 0 0648i 0 0886 0 2545i 0 0886 0 2545i 0 1030 0 1066 0 0958i 0 1066 0 0958i 0 0397 0 0155i 0 0397 0 0155i 5 0527 0 0 0 0 0 0 0162 0 5043i 0 0 0 0 0 0 0162 0 5043i 0 0 0 0 0 0 0101 0 1034i 0 0