北京最近五年各区几何压轴题题型分类.doc

第0章 四个基本模型“爪子图”模型如图，由 “一线三等角”模型如图，若B,C,D三点共线，且,则当且仅当C为BD的中点或AE=BD时，“旋转角”模型如图，如果绕点旋转角到，则所在直线的夹角也是“四点共圆”模型对角互补，四点共圆：如图，在四边形中，若,则四点共圆。圆周角相等，四点共圆：如图，在四边形中，若,则四点共圆。第1章 一线三等角【1】(2016昌平二模)在等边ABC中，AB=2，点E是BC边上一点，DEF=60，且DEF的两边分别与ABC的边AB，AC交于点P，Q（点P不与点A，B重合）.（1）若点E为BC中点 当点Q与点A重合，请在图1中补全图形； 在图2中，将DEF绕着点E旋转，设BP的长为x，CQ的长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3，当点P为AB的中点时，点M，N分别为BC，AC的中点，在EF上截取=EP，连接. 请你判断线段与ME的数量关系，并说明理由.【2】（2016海淀九上期末）（1）如图1，ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=2， BC=1，则BCD的周长为 ； （2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且EDF的周长等于AD的长.在图2中求作EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 在图3中补全图形，求的度数；若，则的值为 . 第2章 半角模型【1】（2014平谷一摸）（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF=45，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点如图2，当BAC=60，DAE=30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_；如图3，当BAC=，(090)，DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_【参考：】【2】（2013东城一模） 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若MBN=ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明； 问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC+ADC=180，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若MBN=ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明. 【3】（2014房山二模）边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设MBND的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【4】（2016石景山一模）在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE（1）请你在图1画出BEM，使得BEM与BEC关于直线BE对称；（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究ABF与CBE的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CEDE，请写出求cosFED的思路（可以不写出计算结果） 图1 图2 备用图【5】（2016门头沟一模）在正方形ABCD中，连接BD（1）如图1，AEBD于E直接写出BAE的度数（2）如图1，在（1）的条件下，将AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30后得到ABE，AB与BD交于M，AE的延长线与BD交于N 依题意补全图1； 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路（不必写出完整推理过程） 图1 图2【6】（2017石景山一模）正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接 （1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点. 依题意补全图1； 小研通过观察、实验，发现线段，存在以下数量关系： 与的平方和等于的平方小研把这个猜想与同学们进行交流，通 过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法1： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， 要证， ， 的关系，只需证，的关系. 想法：将沿翻折，得到，要证，的关系， 只需证，的关系. 请你参考上面的想法，用等式表示线段，的数量关系并证明； （一种方法即可） （2）如图2，若将直线绕点顺时针旋转，交直线于点.小研完成作 图后，发现直线上存在三条线段（不添加辅助线）满足：其中两条线段的平 方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.图1 图2第3章 等边三角形旋转模型【1】（2018年东城二模）如图所示，点P位于等边的内部，且ACP=CBP（1） BPC的度数为_；（2）延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD依题意，补全图形；证明：AD+CD=BD；（3）在（2）的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积【2】（2016年昌平九上期末）已知，点O是等边ABC内的任一点，连接OA，OB，OC.（1） 如图1，已知AOB=150，BOC=120，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC. DAO的度数是 ；用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2） 设AOB=，BOC=.当，满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值. 【3】（2013年北京）在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD。 （1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。【4】（2013房山一模）（1）如图1，ABC和CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P，求证： BE = AD.（2）如图2，在BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE.【5】（2018年西城二模）如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设DAQ=（060且30）.（1）当030时，在图1中依题意画出图形，并求BQE（用含的式子表示）；探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当3060时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系. 图1 备用图【6】（2017昌平九上期末）如图1，在ABC中，ACB=90，点P为ABC内一点（1）连接PB，PC，将BCP沿射线CA方向平移，得到DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE 依题意，请在图2中补全图形； 如果BPCE，BP=3，AB=6，求CE的长（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A为旋转中心，将ABP顺时针旋转60得到AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值【7】（2016顺义一模）已知：在ABC中，BAC=60，如图1，若AB=AC，点P在ABC内，且APC=150，PA=3，PC=4，把APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到ADB，连接DP。 依题意补全图1； 直接写出PB的长；如图2，若AB=AC，点P在ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求APC的度数；如图3，若AB=2AC，点P在ABC内，且PA=，PB=5，APC=120，请直接写出PC的长 图1 图2【8】（2017海淀九上期末）在ABC中，AB=AC，BAC=，点P是ABC内一点，且连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系图1 图2（1）当=60时，将ABP绕点A逆时针旋转60得到，连接，如图1所示由可以证得是等边三角形，再由可得APC的大小为 度，进而得到是直角三角形，这样可以得到PA，PB，PC满足的等量关系为 ；（2）如图2，当=120时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，并给出证明；（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 【9】（2017平谷一模）在ABC中，AB=AC，A=60，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120，与直线AC交于点F（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由BAC与EDF互补，可得AED与AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF.请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系第4章 中点模型【1】（2018年朝阳二模）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，EAD=90，CE交AB于点F，CD=DF.（1）CAD= 度； （2）求CDF的度数；（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明. 【2】在ABC中，AB=BC，BDAC于点D.（1）如图1，当ABC=90时，若CE平分ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：BEF是等腰三角形；求证：BD=（BC + BF）； （2）点E在AB边上，连接CE.若BD=（BC + BE），在图2中补全图形，判断ACE与ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE与ABC关系的思路.【3】（2017怀柔一模）如图1，在ACB和ADB中，C=D =90，过A，B，C三点可以作一个圆，此时AB为圆的直径，AB的中点O为圆心.因为D=90，利用圆的定义可知点D也在此圆上，若连接DC，当CAB=31时，利用圆的知识可知CDB= 度.（2）如图2，在ACB中，ACB=90，AC=BC=3，CEAB于E，点F是CE中点，连接AF并延长交BC于点D.CGAD于点G，连接EG. 求证:BD=2DC; 借助（1）中求角的方法，写出求EG长的思路.（可以不写出计算的结果） 【5】（2018年平谷一模）在ABC中，AB=AC，CDBC于点C，交ABC的平分线于点D，AE平分BAC交BD于点E，过点E作EFBC交AC于点F，连接DF（1）补全图1；（2）如图1，当BAC=90时，求证：BE=DE；写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；（3）如图2，当BAC=时，直接写出，DF，AE的关系 【6】（2015延庆一模）已知，点P是ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点.（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明. 【7】（2018年石景山二模）在ABC中，ABC=90，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移ABN，使点N移动到点M，得到DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P（1）若点N是线段MB的中点，如图1 依题意补全图1； 求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求CE的长 【9】（2016东城一模）如图，等边ABC，其边长为1， D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且EDF=120.（1）直接写出DE与DF的数量关系；（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.【10】（2013门头沟二模）已知：在AOB与COD中，OAOB，OCOD， （1）如图1，点C、D分别在边OA、OB上，连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM，则线段AD与OM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，将图1中的COD绕点逆时针旋转，旋转角为 ()连结AD、BC，点M为线段BC的中点，连结OM请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的 COD绕点 O逆时针旋转到使 COD的一边OD恰好与AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点请你判断（1）中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明【11】（2017燕山一模）在正方形 ABCD 中，点 P 在射线 AB 上，连结 PC，PD，M，N 分别为 AB，PC 中点，连结 MN 交 PD 于点 Q（1）如图 1，当点 P 与点 B 重合时，求QMB 的度数；（2）当点 P 在线段 AB 的延长线上时.依题意补全图2小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM.小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1延长BA到点 E，使AE=PB .要证QP=QM，只需证PDAECB.想法2：取PD 中点E ，连结NE,EA. 要证QP=QM只需证四边形NEAM 是平行四边形.想 法3：过N 作 NECB 交PB 于点 E ，要证QP=QM ，只要证明NEMDAP.请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM. (一种方法即可) 图1 图2 【12】（2016西城一模）在正方形中，点是射线上一个动点，连接，点，分别为，的中点，连接交于点（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_；（2）当点在线段的延长线上时，如图2 依题意补全图2； 判断的形状，并加