16.3角的平分线

课 题 16 3 角的平分线 使用人 学习目标 1 学会角平分线的性质定理及其逆定理 2 能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用 3 能利用尺规作出一个已知角的角平分线 学习内容 问题化的知识及学法 问题修正 一 探究新知 一 角平分线的性质定理 活动一 在一张半透明的纸上画出一个角 AOB 将纸对 折 使得这个角的两边重合 从中你能得什么结论 答 活动二 按照下图所示的过程 将你画出的 AOB 依照上 述方法对折后 设折痕为直线 OC 再折纸 设折痕为直线 n 直线 n 与边 OA OB 分别交于点 D E 与折线 OC 交于点 P 将纸展开平铺后 猜想线段 PD 与线段 PE 线段 OD 与线 段 OE 分别具有怎样的数量关系 并说明理由 猜想 理由 活动三 将 AOB 对折 再折出一个直角三角形 使第一条 折痕为斜边 然后展开 观察第二次折叠形成的两条折痕 你能得出什么结论 结论 下面我们就来证明折纸过程中发现的结论 已知 如图 OC 是 AOB 的平分线 P 是 OC 上任意一点 PD OA PE OB 垂足分别为 D E 求证 PD PE 证明 在 和 中 A B O 于是我们得到角平分线的性质定理 角平 分线上的点到角的两边的距离 二 角平分线性质定理的逆定理 我们已经学习过线段垂直平分线的性质的逆命题是一个真命 题 定理 角平分线的性质定理的逆命题呢 1 角平分线的性质定理的逆命题 根据这个逆命题的内容 画出图形 结合图形 提出你对这个逆命题是否正确的猜想 猜想 验证你的猜想 已知 如图 P 是 OC 上任意一点 PD OA PE OB 垂足 分别为 D E 且 PD PE 求证 OC 是 AOB 的平分线 证明 在 和 中 于是我们得到角平分线性质定理的逆命题是一个 命题 即 三 尺规作角的平分线 例 如图 已知 AOB 求作 AOB 的平分线 1 自学课本 3 分钟 2 观察与思考 观察下面用尺规作角的平分线的步骤 如下图 思考这 种作法的依 据 步骤一 以点 O 为圆心 以适当长为半径画弧 弧与角 的两边分别交于 A B 两点 步骤二 分别以点 A B 为圆心 以固定长 大于 AB 长 的 一半 为半径画弧 两弧交于点 C 步骤三 作射线 OC 则 OC 就是 AOB 的平分线 四 二 专项训练 1 如图 OP平分 AOB PC OA PD OB 垂足分别是C D 下列结论中错误的是 A B C DO P A PC B OC ODC CPO DPO D OC PC 2 如图 ABC中 C 90 AC BC AD是 BAC的平分 线 DE AB于E 若AC 10cm 则 DBE的周长等于 E D C BA A 10cm B 8cm C 6cm D 9cm 3 如图所示 D 是 ABC 外角 ACG 的平分线上的一 点 DE AC DF CG 垂足分别为 E F 求证 CE CF 三 达标检测 10 分钟 独立完成 计 10 分 1 2 3 小题各 2 分 4 题 4 分 1 2 分 如图 DE AB DF BG 垂足分别是 E F DE DF EDB 60 则 EBF 度 BE 2 2 分 ABC 中 C 90 AD 平分 CAB 且 BC 8 BD 5 则点 D 到 AB 的距离是 3 2 分 用尺规作图作一个已知角 的平分线的示意图如图所示 则能说明 AOC BOC 的依据 是 A SSS B ASA B C AAS D 角平分线上的点到角两边的距离相等 4 4 分 如图所示 已知 ABC 中 PE AB 交 BC 于点 E PF AC 交 BC 于点 F 点 P 是 AD 上一点 且点 D 到 PE 的 距离与到 PF 的距离相等 判断 AD 是否平分 BAC 并说明 理由 选做 如图 已