《二项式定理》教案3.docx

二项式定理教案3教学内容分析：在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为他的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一个也为学习随机变量及其分布作准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。学情分析：学生已经能够熟练掌握两个计数原理以及排列数公式和组合数公式，具有一定的知识基础教学目标 、知识与技能： 1）使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式； 2）会利用二项展开式及通项公式解决有关问题；2、过程与方法：在同学对二项展开式的探究过程中，培养训练同学的观察、联想、归纳等探究能力；3、情感、态度与价值观：通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育教学重点与难点重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理；难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律；教具准备：与教材内容相关的资料。教学方法： 分析法，讨论法，归纳法教学过程：一.复习引入一、复习引入：前一阶段，我们学习了排列组合与概率，我们知道了对于多项式的展开式的项数问题可以运用乘法原理求解。如：例1、（1）求展开后的项数。（2）求展开后的项数。（3）求展开后的项数。疑问1： （2）的项数为4，与我们已知的：项数为3不一致。为什么？（3）的项数为3，与我们已知的：项数为6不一致。为什么？引导同学得出结论：由于同类项的合并因此项数减少了。其实，多项式的展开问题比我们想象的要复杂的多，它涉及展开式的项数、项、项的系数等问题，但也并不是没有规律可循，我们可以运用有关知识来解决。想不想来试试？引出课题：二项式定理二、新课探究：（一）二项式的展开式：我们先来研究二项式的展开式。1、 二项式的定义：形如的代数式叫二项式。2、 二项式的展开式的探究：注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项和指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。探索规律，得出结论：（1） 二项式的展开式项数为： ；（2） 二项式的展开式各项和指数的特点： （a）展开式各项和指数和为，（b）指数从开始依次递减到0，指数从0开始依次递减到；（3）二项式的展开式各项的系数满足： n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1n=5 1 5 10 10 5 1 、规律：左、右两边斜行各数都是1；奇遇各数都等于它肩上两数的和。类似这样的表，早在7百多年前我国宋朝数学家杨辉在所著的详解九章算术已经出现。反映了我国古代数学的发展和我国灿烂的历史文化。我们通常把这个表称作“杨辉三角”。运用“杨辉三角”可以来求二项式的展开式。（二）二项式的展开式系数当比较大时怎么表示展开式各项的系数？引导同学从展开式各项产生的角度思考：=的展开式中的各项系数是怎样的？思考：在的展开式中是怎样来的？有多少个？教师引导：即，是从上面四个括号中各选一个而来，三个自四个括号中给出，四个括号中选三个，有种可能。由于选出三个的括号的同时自然剩下一个括号选出。因此，与是同时得到的。所以在计算的数目时，只需考虑的数目就可以了，而不必考虑的数目。所以的个数是，即的系数是。学生实践：由学生按刚才的道理分别写出， ，的系数。归纳结论：提问：谁能写出、的展开式？归纳一般结论： 对于的系数即为每个括号都不取的情况数，有种；的系数即为恰有个括号取其余取的情况数，有种；，的系数即为恰有个括号取其余取的情况数，有种；，的系数即为有个括号都取的情况数，有种。对于任意正整数 n ,我们有： 指出：这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，各项系数 (r=0,1,2,n)叫做二项式系数。 式中叫做二项展开式的通项，记作：（三）、例题赏析：例1、展开：；例2、求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。例3、求（1），（2）的展开式中的第3项解：（1）， （2）点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同例4、求的展开式中，的系数（四）课堂练习：1、展开式中的常数项为 （ ）(A)第6项 (B)第7项 (C) 第8项 (D)第9项2、的展开式中，的系数是(用数字作答)