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第6章求矩阵特征值与特征向量第16讲 乘幂法和逆幂法一、乘幂法的基本思想乘幂法是求实方阵A按模最大特征值及相应的特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是，先任取非零初始向量，然后作迭代序列再根据增大时，各分量的变化规律，求出方阵A 的按模最大的特征值及相应的特征向量。先看一个实例例1. 设矩阵用特征方程容易求得的两个特征值为下面我们用乘幂法来计算，任取初始向量，计算向量序列具体计算列表如下：考虑两个相邻向量相应分量之比：由上面计算看出，两个相邻向量相应分量之比值， 随着的增大而趋向于一个固定值，并且此值恰好就是方阵A 的按模最大的特征值。二、乘幂法的计算公式 设矩阵A的n个特征值按模的大小排列为：12n其相应的特征向量为e1, e2, en且它们是线性无关的。先任取非零初始向量，作迭代序列首先将表示为所以为了得出计算和的公式，下面分三种情况讨论1. 1为实根，且12。当a1不为0，k充分大时，则有所以（6.2）2为 实根，且1=-2，23。当a1，a2不为0，k充分大时，则有于是得从而有（6.3）（3）1=u+iv, 2=u-iv,且23。当k充分大时，则有（推导过程参见教材164-165）在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况判断属于那种情况。若迭代向量各分量单调变化，且有关系式Xk+1=cXk，则属于第1种情况；若迭代向量各分量不是单调变化，但有关系式Xk+2=cXk，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式Xk+2+pXk+1+qXk0，则属于第3种情况； 为了防止溢出，可采用迭代公式：（6.6）这里面的 代表Yk绝对值最大的分量.例2乘幂法求矩阵按模最大特征值和相应特征向量。解取X0=（1，1，1）T，用乘幂法迭代公式Xk+1=AXk，k=0,1,.计算列表如下：所以事实上，矩阵的最大特征值为其相应的特征向量为三、逆幂法 1. 求A按模最小的特征值设非奇异矩阵A的n个特征值为12n，其相应的特征向量为 e1, e2, en，则的特征值为其相应的特征向量仍为 e1, e2, en。A-1按模最大的特征值的倒数则为矩阵A按模最小的特征值。利用乘幂法求A-1按模最大的特征值。 任取初始非零初始向量X0，作迭代序列Xk+1=A-1Xk，k=0,1,它等价于AXk+1=Xk，k=0,1, （6.8）我们可以通过反迭代过程，即解方程组AXk+1=Xk，k=0,1,求得Xk+1。 当n-1n，an0, k充分大时，则有在实际计算中，为了减少运算量，先将矩阵A作三角分解A=LR然后再求解方程组2求在附近的特征值 设与最接近的特征值为即有作矩阵，它的特征值和相应的特征向量为若用逆幂法于矩阵，则有则可求出矩阵的按模最小的特征值和相应的特征向量为于是得A在 附近的特征值和相应的特征向量为（6.10）例3用逆幂法求矩阵在3.4附近的特征值和相应的特征向量解对A-3.4I进行三角分解得：用半次迭代法，取，则得再解得
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