过江索道的设计.doc

过江索道的设计摘要山区的农民过江时使用过江索道，由于设计问题，当滑到终点时速度还很快这将会使造成危险，因此合理设计过江索道和安全过江策略有着重要的现实意义，本文根据题目所给的条件和要求，分别建立了三个数学模型，求出对应的过江索道和安全过江策略。对于问题一：不考虑钢索的重量，如果钢索不是一条直线，那么滑下后不能到达点，所以认为钢索是一条平直的直线，已知落差与水平距离，用勾股定理可求得钢索的长度，过江时不计阻力，要使滑到终点时速度为，根据能量守恒定理列出关系式，求解出用草时滑过的距离即安全过江策略。对于问题二，考虑钢索的重量，可将索道线性看为悬索线，以下支点为原点建立坐标系，求出悬索线的方程，用弧长公式求积分，得出钢索的长度，过江时不考虑阻力作用，但由于考虑钢索的重量，弦顷角会不断改变，用积分的知识，根据能量守恒得定理，求出用草时滑过的距离即安全过江策略。对于问题三，考虑钢索的重量，索道为悬链线，由问题二已求出钢索长度，过江时考虑阻力的作用，根据能量守恒，开始的重力势能完全转化为阻力和用草时摩擦力所做的功，由于钢索有重量，弦顷角不断变化，并加上阻力的作用，运用能量守恒定理列出关系式，求出安全过江策略。关键词：过江索道 能量守恒 摩擦力做工问题重述我们经常可以从电视看到这样的景象，山区的农民过江时使用过江索道。由于设计问题，当滑到终点时速度还很快，所以我们看到人们在过江时手中会握着一把草用于快到终点时减速。现要求设计一个过江索道，条件及要求如下。HLBCA落差为，水平距离为。假设人从点出发，人用草减速时，摩擦系数为。要求滑到终点时，速度降为。思考解决以下问题：问题一：不考虑阻力和钢索的重量的情况下，合理设计你的过江索道和安全过江策略问题二：考虑钢索的重量，不考虑阻力的情况，合理设计你的过江索道和安全过江策略问题三：考虑钢索的重量和阻力的情况，合理设计你的过江索道和安全过江策略问题分析 对于问题一：在不考虑阻力与钢索重量的情况下，认为钢索是一条平直的直线，已知落差与水平距离，用勾股定理可求得钢索的长度，过江时不计阻力，要使滑到终点时速度为，根据能量守恒，开始的重力势能完全转变为用草减速时的摩擦力所做的工，从而求出最佳的减速点即何处用草。 对于问题二：考虑钢索的重量的情况下，在索道的设计计算中，人们公认索道的准确线形是悬链线，以下支点为原点，建立直角坐标系，求出悬链线的方程，再用弧长公式求出钢索的长度，由于考虑了钢索的重量，过江时弦顷角不断在改变，计算摩擦力做工时，把角度化为无数个段进行加和求解，可求出用草减速的最佳位置。 对于问题三：考虑钢索的重量，索道的线性也为悬索线，由模型二已求出了考虑钢索重量下的悬索线长，过江时考虑阻力的作用，由于钢索有重量，弦顷角不断变化，并加上阻力的作用，运用能量守恒定理，求出安全过江策略。符号说明表一：符号说明表符号说明用草时人滑过的距离钢索的长度弦顷角悬链线上用草的位置悬链线与水平面的夹角悬链线的水平张力注:还有一些变量没写出，会在模型建立中一一定义模型假设假设一：假设过江时均没有刮大风，下大雨情况；假设二：钢索在负重时不变形；假设三：所有人均能安全过江；假设四：钢索是理想柔性的，不受压不受弯；假设五：钢索的自重沿曲线均匀分布；假设六：钢索的横截面积在自重及外载荷作用下变化微小，可忽略不计；模型的建立与求解模型一的建立：问题一中不考虑钢索的重量，那么如果钢索不是一条拉直的线，那么就会出现图一中的情况，当人一开始滑下时，会直接下落，且最后无法冲上B点，会在B点的正下方相撞。 图一所以认为钢索是一条平直的直线，已知落差为，水平距离为。 图一：不计阻力与钢索重量时的图形用勾股定理：钢索绳长 （1）载人时不考虑阻力的作用，过江时的摩擦力只在用草时有，根据能量守恒定理： （2） 有图可知： （3） 其中为弦顷角，为用草时滑过的钢索长度。模型一的求解：求解（2）式得 （4）又因为，所以且模型二的建立： 问题二中考虑了钢索的重量，在索道的设计计算中，人们公认索道的准确线形是悬链线，以下支点为原点，建立直角坐标系。 图二：索道线性示意图由图二则有： (5)其中为悬链线的水平张力，为悬链线的单位长度重量。设水平张力系数为，则 （6）求解（3）式得： （7）由边界条件：代入式子得： （8）令，求出最低点坐标 （9）将代入可得： (10)则悬线索长为： (11)代入（8）式可得: (12) 图三：考虑钢索重量时，人滑行的示意图考虑钢索重量时，钢索绳由于受到重力的影响，是微微下弯的曲线，人在滑动过程中弦顷角不断在改变，计算时把弦顷角分为若干份进行求和，较为精确得出用草时，滑过的曲线长度。根据能量守恒定理得： （13）则有： (14)由于为变量则有： （15）设在时用草刹车则有： （16）由（14）式可求出，则 （17）模型三的建立 问题三考虑钢索重量，则索道线性也为悬索线，由模型二我们可得悬锁链的长为： （18）制定过江策略：过江时考虑了阻力的影响，则在过江时根据能量守恒定理得： （19）其中为阻力的作用 （20）其中为空气阻力系数，为空气密度，为人的迎风面积，为人的运行速度。又因为，代入（20）式为： （21）结合模型二（19）式可写为： （22）所以 （23） （24）由（24）求解出的大小，代入下式求出的大小， （25）模型的检验题目给出了索道的落差与水平跨距，但没有确定的值，只是一个参数，所以在模型建立中无法计算出确定的数值，因此有必要对模型进行检验，检验模型是否符合实际或与实际是否相差甚远，通过查找模型中的各个参数的实际值代入求解，比较理论计算值与实际值的差别可判定模型的合理性。对模型一的检验对模型二的检验对模型三的检验参考文献1罗桂生. 索道的悬链线算法研究. Journal of Fujian College of Forestry J . 福建林学院学报, 2002,22 ( 1) : 13-16.2悬链线理论及其应用研究 VI.单跨索道多荷重悬链线算法数学模型.The design Theories and Engineering Application on the Catenary Method.郑立凤，周新年，胡永生，张正雄，罗仙仙function h=hhh(d,s);h=;t=;h(1)=8*s*cos(d);for i=2:1000t(i)=(1/(2*s*h(i-1)*sqrt(h(i-1)2*(tan(d)2)+4*(sinh(h(i-1)/2); h(i)=2*log(t(i)+1)/(t(i)-1); if(abs(h(i)-h(i-1)/h(i)0.00001) break endendhfunction l=lll(d,l,h);L=(l/h)*sqrt(h2*(tan(d)2)+4*(sinh(h/2)2);Lsyms x y l d a;