勾股定理的培优专题

精品文档 11欢迎下载 勾股定理培优专题勾股定理培优专题 一 本节基础知识一 本节基础知识 1 1 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直 角三角形 2 2 命题与原命题 命题与原命题 勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反 我 们把像这样的两个命题叫做互逆命题 如果把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的 逆命题 3 3 逆定理 逆定理 一般地 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的 它也是一个定理 称这两 个定理互为逆定理 4 4 勾股数 勾股数 3 4 5 这样 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 巩固练习 巩固练习 1 如果三角形的三边长a b c满足a2 b2 c2 那么这个三角形是 三角 形 我们把这个定理叫做勾股定理的 2 在两个命题中 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一个命题的结论 是第二个命题的题设 那么这两个命题叫做 如果把其中一个命题叫做原 命题 那么另一个命题叫做它的 3 分别以下列四组数为一个三角形的边长 1 6 8 10 2 5 12 13 3 8 15 17 4 4 5 6 其中能构成直角三角形的有 填序 号 4 若 ABC中 b a b a c2 则 B 5 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的 ABC是 三角形 6 若一个三角形的三边长分别为 1 a 8 其中a为正整数 则以a 2 a a 2 为 边的三角形的面积为 7 写出下列命题的逆命题 并判断逆命题的真假 1 两直线平行 同位角相等 2 若a b 则a2 b 二 经典例题 针对训练 延伸训练二 经典例题 针对训练 延伸训练 考点一考点一 证明三角形是直角三角形证明三角形是直角三角形 例例 1 1 已知 如图 在 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 且 CD2 AD BD 求证 ABC 是直角 三角形 精品文档 22欢迎下载 针对训练 针对训练 1 1 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 2 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC 4 1 BC 求证 EFA 90 3 3 如图 已知 在 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 MD AB 于 D 求证 AD2 AC2 BD2 考点二考点二 运用勾股定理的逆定理进行计算运用勾股定理的逆定理进行计算 例 例 如图 等腰 ABC中 底边BC 20 D为AB上一点 CD 16 BD 12 求 ABC的周长 针对训练 针对训练 1 1 已知 如图 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 求 四边形 ABCD 的面积 A B D C F E A B C M D 精品文档 33欢迎下载 3 已知 如图 DE m BC n EBC 与 DCB 互余 求 BD2 CD2 考点三 与勾股定理逆定理有关的探究和应用考点三 与勾股定理逆定理有关的探究和应用 例例 1 1 阅读下列解题过程 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b2c2 a4 b4 试判 断 ABC 的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 A c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 B c2 a2 b2 C ABC 是直角三角形 问 上述解题过程是从哪一步开始出现错误的 请写出该步的代号 错误的原因是 本题的正确结论是 例例 2 2 学习了勾股定理以后 有同学提出 在直角三角形中 三边满足 或许其 222 cba 他的三角形三边也有这样的关系 让我们来做一个实验 1 画出任意的一个锐角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 mm mm 较长的一条边长 mm a b c 比较 填写 或 222 cba 2 画出任意的一个钝角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 mm mm 较长的一条边长 mm a b c 比较 填写 或 222 cba 3 根据以上的操作和结果 对这位同学提出的问题 你猜想的结论是 对你猜想与的两个关系 任选其中一个结论利用勾股定理证明 22 ab 2 c B E C D 精品文档 44欢迎下载 1 C B A 2 CB A 3 C B A 例例 3 3 如图 南北向 MN 为我国的领海线 即 MN 以西为我国领海 以东为公海 上午 9 时 50 分 我国反走私艇 A 发现正东方有一走私艇 C 以每小时 13 海里的速度偷偷向我领海开来 便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 B 密切注意 反走私艇 A 通知反走私艇 B A 和 C 两艇的距离是 13 海里 A B 两艇的距离是 5 海里 反走私艇 B 测得距离 C 艇是 12 海里 若走私艇 C 的速度不变 最早会在什么时间进入我国领海 针对训练 针对训练 1 1 观察下列各式 32 42 52 82 62 102 152 82 172 242 102 262 你有没有发现其中的规律 请用含n的代数式表示此规律并证明 再根据规律写出接下来 的式子 2 如图所示 有一块塑料模板 ABCD 长为 10 宽为 4 将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 并在 AD 上平行移动 能否使你的 三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理 由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一 直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2 若能 请你求出这 时 AP 的长 若不能 请说明理由 精品文档 55欢迎下载 3 喜欢爬山的同学都知道 很多名山上都有便于游人观光的索道 如图所示 山的高度 AC 为 800 m 从山上 A 与山下 B 处各建一索道口 且 BC 1 500 m 一游客从山下索道口坐缆车到 山顶 知缆车每分钟走 50 m 那么大约多长时间后该游客才能到达山顶 说明理由 延伸训练延伸训练 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内的一点 且 PB 1 PC 2 PA 3 求 BPC 的度数 总结提高 总结提高 1 满足下列条件的三角形中 不是直角三角形的是 A 三内角之比为 1 2 3 B 三边长的平方之比为 1 2 3 C 三边长之比为 3 4 5 D 三内角之比为 3 4 5 2 如图 18 2 4 所示 有一个形状为直角梯形的零件 ABCD AD BC 斜腰 DC 的长为 10 cm D 120 则该零件另一腰 AB 的长是 cm 结果不取近似值 精品文档 66欢迎下载 图 18 2 4 图 18 2 5 图 18 2 6 3 如图 18 2 5 以 Rt ABC 的三边为边向外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 且 S1 4 S2 8 则 AB 的长为 4 如图 18 2 6 已知正方形 ABCD 的边长为 4 E 为 AB 中点 F 为 AD 上的一点 且 AF AD 试判断 EFC 的形状 4 1 5 一个零件的形状如图 18 2 7 按规定这个零件中 A 与 BDC 都应为直角 工人师傅 量得零件各边尺寸 AD 4 AB 3 BD 5 DC 12 BC 13 这个零件符合要求吗 图 18 2 7 6 已知 ABC 的三边分别为 k2 1 2k k2 1 k 1 求证 ABC 是直角三角形 7 已知 a b c 是 Rt ABC 的三边长 A1B1C1的三边长分别是 2a 2b 2c 那么 A1B1C1是直角三角形吗 为什么 8 如图 18 2 9 所示 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别为 A 3 1 B 2 4 OAB 是直角三角形吗 借助于网格 证明你的结论 9 若 ABC的三边长为a b c 根据下列条件判断 ABC的形状 1 a2 b2 c2 200 12a 16b 20c 2 a3 a2b ab2 ac2 bc2 b3 0 精品文档 77欢迎下载 10 如图 在 ABC中 D为BC边上的一点 已知AB 13 AD 12 AC 15 BD 5 求 CD的长 11 已知 如图 四边形ABCD中 AB BC AB 1 BC 2 CD 2 AD 3 求四边形 ABCD的面积 14 已知 如图 在正方形ABCD中 F为DC的中点 E为CB的四等分点且求 4 1 CBCE