量子力学例题与解答

精品文档 1欢迎下载 量子力学 复习例题与题解 一 基本概念 1 波粒二象性 微观粒子具有波粒二象性 即微观粒子既有波动性 弥漫性 又有粒子性 不可 分割性 德波罗意关系式是两者的统一 关系式的左边体现粒子性 右边体现波动性 kpE 2 测不准关系 描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的 也就是说 这两个力学量不 能同时测准 他们的不确定度可用测不准关系来描述 2 22 4 1 BABA 3 本征方程 如下方程 其中为常数 称为力学量算符的本证方程 nnn QQ n QQ 为 n Q 力学量算符的相应于本征态的本征值 Q n 4 简并度 一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形 本征态的个数称为相应于该 本征值的简并度 5 全同性原理 全同微观粒子体系 当两个粒子交换坐标时 波函数要末不变号 要末变号 即 概率分布不变 6 波函数 微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数来描述 为概率 tx 2 tx 密度 即在 时刻 附近单位体积内找到微观粒子的概率tx 7 归一化常数 为了让波函数表示绝对的概率幅 必须归一化 即 tx tx 其中的即为归一化常数1 2 dtxA A 8 力学量完全测量集合 完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合 这些力学量必须满 足 他们是可测量 它们必须互相独立 与他们相应的力学量算符必须两两对 易 9 微扰理论 当 且 零级近似的本征方程可 0 HHH 0 HH 0 0 0 0 nnn EH 以 严格求解时 可用微扰理论来处理 即在零级近似的基础上 根据需 0 0 kk E 精品文档 2欢迎下载 要 的精度逐步进行一级 二级或高级修正 10 玻色子与费密子 自旋量子数 为整数的微观粒子称为玻色子 自旋量子数 为半整数的微观粒子ss 称为费米子 前者对波函数有对称性的要求 后者对波函数有反对称性的要求 受泡里原理的约束 11 定态 具有以下特征的态称为定态 能量一定 与时间 t 无关 概率分布一定 E 即 一定 与时间 t 无关 力学量的平均值一定 即一定 与时间 2 tx Q t 无关 12 量子化与电离态 量子化 当微观粒子只能束缚于有限空间时 其力学量算符的本征值取值 分 立的现象 此时能量为负值 电离态 当微观粒子在无限空间运动时 其力学量算符的本征值取值连续 的 现象 此时能量为正值 13 泡里不相容原理 对全同费米子系而言 每一单粒子态上最多只允许一个费米子占领的原理 14 泡里矩阵 为方便地描述电子的自旋运动所引入的矩阵 泡里矩阵的定义为 3 2 1 2 iS ii 其中为电子自旋角动量的第 i 各分量 为相应的分量 i S i 15 态的叠加原理 微观粒子体系的态满足态的叠加原理 即 n n n Cx 在态中出现态的概率为 x n 2 n C 16 量子谐振子的零点能 量子谐振子的能量为 当时的能量 2 1 0 2 1 nnEn 0 n 称为零点能 2 1 0 E 17 写出轨道角动量平方与分量的本征方程与本征值 2 Lz z L 2 1 0 2 1 0 1 22 mYmYLlYllYL lmlmzlmlm 18 隧道效应 精品文档 3欢迎下载 当微观粒子的能量低于势垒高度时 由于微观粒子具波粒二象性 仍然可以穿过 势垒的效应 19 写出球力学量平均值的两种方法Q 其中 dQQ n n n QCQ 2 n nn C 20 本征函数的正交归一性与完备性 正交归一性 完备性 任意态 mnmn d n nn C 二 计算与证明题 1 试写出在一维无限深势阱中的微观粒子在阱内外的波函数与相应的能级 a 0 并说明其物理意义 解 0 0 0 sin 2 axx axx a n a x n 能级分立 非简并 2 1 2 2 2 2 nn ma En 2 一刚性转子的转动惯量为 它的能量的经典表示式是 为角I I L H 2 2 L 动量 求与此对应的量子体系在转子绕一固定轴转动情形下的定态能量及波函数 解 绕一固定轴转动的转子称为平面转子 若取转轴为轴 则Z 在坐标表象中 相应的本征方程为 22 z LL iLz mi 得 注意到与应该是对应于同一点 故应有 im Ae 2 2 imim ee 由此得 即式中 正负整数 1 2 mi e 2 1 0 m 而的本征方程为 2 222 22 II L H z E I 2 22 2 令 则方程变为 2 2 2 IE m 同上 与为同一点 im Aem 0 2 2 2 2 精品文档 4欢迎下载 故必须为正负整数 此时 只须表成即可 这样 能量m im Ae 为 下面确定归一化常数 I m E 2 22 2 1 0 m A 取 121 2 2 0 2 2 2 0 AdeeAd imim 2 1 A 最后归一化的波函数为 2 1 0 2 1 meim 相应的定态波函数为 2 1 0 2 1 2 2 meet t I m mit E i 3 氢原子处于基态 求 0 3 0 100 1 a r e a r 1 的平均值 2 势能的平均值 r r e2 解 1 r drer a ddrre a r a r a r 00 2 0 3 3 0 2 2 000 2 3 0 4 sin 1 利用积分公式 1 0 n xn n dxex 得 2 3 2 34 0 4 0 3 0 a a a r 2 U 0 2 3 0 2 2 2 2 000 2 3 0 0 0 4 sin 1 drre a e ddrdr r e e a U a r a r 0 22 0 3 0 2 4 4 a ea a e 4 时 一维运动粒子的状态是0 t cos 2 1 sin 2 kxkxAx 精品文档 5欢迎下载 其中 求粒子位置与动量的测不准关系 0 解 cos 2 1 sin 2 kxkxAx 求归一化常数 A k k k Adxkxkx 22 cos 2 1 sin1 因此归一化的波函数为 cos 2 1 sin 2 kxkx k x 而 222222 xxxPPP 0 xP 具体积分前面已算过 222 2 2 222 4 5 cos 2 1 sin cos 2 1 sinkkxkx x kxkx k P k k dxkxkxxkx x kxx k dxxkxkx k x k k cossincos 4 sin cos 2 1 sin 222 2 422222 其中 3 3 333 3 22242 32 158 2324 2cos44cos3 8 1 sin kkkk dxkxxkxxxkxdxx k k 3 3 33 3 222 2 24 32 812 cos 8 1 cos 4kkk dxkxxxkxdx x k k 333 2222 9 162 9 2 cos3cos 2 1 cossin kkk dxkxxkxxkxdxkxx k k 所以 2 2 33 3 3 3 2 288 41396 9 16 24 32 32 158 kkkk k x 故 1152 2065480 288 41396 4 5 22 2 222 2222 k k xPxP 5 氢原子处于基态 求 0 3 0 100 1 a r e a r 1 最可几半径 2 动能的平均值 解 1 内的几率为drrr drr 2 2 100 根舍去 0 2 3 0 2 0 2 2 100 0 1 2 2 0 0 are a rr a r dr d a r 0 r 精品文档 6欢迎下载 2 T 0 2 0 2 0 2 1 2 2 a e a e a e UET 注 或者根据平均值定义求算 T ddrdrTsin 2 2 100 2 2 100 6 一刚性平面转子 转动惯量为 电偶极矩为 处于均匀弱电场中 ID 电场在转子转动的平面上 试求能量到二级修正 解 刚性平面转子的零级波函数为 I m E me m im m 2 2 1 0 2 1 22 0 0 不考虑简并 0 m a 1 m E b 2 m E 先求微扰矩阵元 2 0 1 1 2 0 0 2 0 0 4 2 1 2 cos mkimki iimki kmmk eed D eee D dDH 注意到 0 0 0 22 0 n n dein 则 1 0 1 1 2 mk mk D Hmk 因此 11 2 0 1 0 0 1 0 2 0 0 2 2 mmmm mk km mk m EEEE D EE H E 因为 21 2 1 2 2 22 2 0 1 0 m I mm I EE mm 最后得 14 12 12 12 12 2 22 22 2 22 2 m ID mm mmID Em 0 cos 2 1 2 0 2 0 0 0 1 dDdHE mmm 精品文档 7欢迎下载 对基态 对激发态 0 m0 2 0 E1 m0 2 m E 7 证明 式中为泡里矩阵 i zyx zyx 证明 由泡里矩阵的对易关系知 zxyyxyx i 2 又 yx yxxyxyyx 0 故 zyx i 2 2 将上式两边右乘以 且注意到 z 1 2 z 则 i zyx 8 求在自旋态中 和的测不准关系 2 1z s x S y S 22 yx SS 解 zyx SiSS 由测不准关系知 16 42 4 2 2 2 22 z yx yx S SS SS 在上述运算中利用关系式 4 2 2 2 2 z S 9 一个势能为的线性谐振子处在 22 2 1 xxU t i x Aetx 22 1 22 的状态 其中 求 1 归一化因子 2 在何处发现振子的概率最大 解 1 AAdxeeeAdxtx titi x 1 2 2 2 22 2 2 22 归一化波函数为 t ix etx 22 22 精品文档 8欢迎下载 2 00 2 22 2 2 xextx dx d x 且 所以 处发现粒子的概率为最大 0 2 3 0 2 2 2 xtx dx d 0 x 10 下列波函数所描写的状态是不是定态 1 1 t E iixt E iix exvexutx 2 212 21 EEexuexutx t E it E i 3 3 t E it E i exuexutx 解 由是否与时间 有关来判定是否是定态 2 tx t 1 与 无关 定态 2 1 1 2 1 ixix exvexutxtxtx t 2 与 有关 非定 2 2112 2 2 2 2 2 t EE it EE i eexutxtxtx t 态 3 与 有关 非定态 2 22 22 3 t E it E i eexutx t 11 若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为试求 n 1 距势阱的左壁宽度内发现粒子的概率是多少 4 1 2 为何值时 在此区域内找到粒子的概率最大 n 3 当时 这个概率的极限是多少 这个结果说明了什么问题 n 解 1 dxx a n a dx a xn a dxxW aaa n 4 0 4 0 2 4 0 2 2 cos1 1 sin 2 2 sin 2 1 4 1 n n 2 可见 时 不仅 且也最大 3 n1 2 3 sin 2 sin n 6 1 2 1 n 6 1 4 1 max WW 3 这结果与经典结果相同 因 4 1 2 sin 2 1 lim 4 1 lim n n W nn 在经典情形下 在中找到粒子的概率为 4 0 a 4 14 a a 12 如果算符满足条件 求证 1 1 2 22 精品文档 9欢迎下载 2 233 3 3 1 nnn n 证明 1 2 222 2 2222333 3 2 3 用数学归纳法证明 设成立 则 211 1 nnn n 12111 1 nnnnnnnn nn 13 若有属于本征值为的本征函数 且有和 k MLk 1 ML 试证明 也是的本征函数 对应的本征值为 MvLu 1 1 证明 1 u 1 1 1 LkLMLLLMLLkuk uL 1 1 表明 也是的本征函数 本征值为 Lu k 1 2 v vMMkM MKMMMLMMLMMMLMkvk 1 1 1 1 1 uL 1 1 表明 也是的本征函数 本征值为 Mv k 1 14 求及的本征值和所属的本征函数 01 10 2 x S 0 0 2 i i Sy 解 1 x S 本征方程为 0 2 2 01 10 2 b a b a b a 为二元一次齐次方程组 非零解的条件是系数行列式为零 即相应的久期方程为 精品文档 10欢迎下载 2 0 2 2 a 由归一化条件知 2 ba 1 22 ba 1 1 2 1 2 1 ba b 由归一化条件知 2 ba 1 22 ba 1 1 2 1 2 1 ba 2 y S 本征方程为 b a b a i i 0 0 2 相应的久期方程为 2 0 2 2 i i a 由归一化条件知 2 bia 1 22 ba i iba 1 2 1 2 1 b 由归一化条件知 2 iba 1 22 ba i iba 1 2 1 2 1 15 设体系处在的状态中 式中为球谐函数 1011 YY lm Y 为常数 1 将此波函数归一化 2 力学量有没有确定值 如果有 z LL 2 该值为多少 如果没有 可能