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中央电大开放教育（）计算机数学基础(下)数值部分辅导(3)中央电大 冯泰第11章 函数插值与最小二乘拟合一、重点内容1. 函数插值已知函数f(x)的n个函数值yk=f(xk), k=0,1,2,n。构造一个多项式P(x)，使得P(xk)=yk。P(x)就是插值多项式，f(x)就是被插函数，xk就是插值节点。误差R(x)=f (x)P(x)。2. 拉格朗日多项式用n次多项式 Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln=其中基函数 ，当n=1时，线性插值 P1(x)=yk lk (x)+yk+1 lk+1 (x)其中基函数 ,。当n=2时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为其中注意：过n+1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。3. 均差与牛顿插值多项式函数值与自变量的差商就是均差，一阶均差 (或记作f x0,x1); 二阶均差 (或记作f x0,x1,x2)均差有两条常用性质：(1)均差用函数值的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关。用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式Nn(x)= f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+ +f(x0,x1,x2,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-xn-1) 牛顿插值多项式的余项为 Rn(x)=f(x)Nn(x) =f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)4. 分段线性插值已知n+1个互异节点x,x1,xn,构造一个分段一次的多项式P(x)，且满足：(1)P(x)在a ,b上连续; (2) P(xk)=yk(k=0,1,2,n); (3)P(x)在xk ,xk+1上是线性函数。分段线性插值函数 其中lk(x)(k=0,1,2,n)是分段线性插值基函数. li(x)= ln(x)=5. 三次样条插值函数 其中S(xk)=mk(k=0,1,2,n), hk=xk+1xk(k=0,1,2,n1),m0,m1,mn满足的方程组是 (*)其中： , (k=1,2,n1) (1) 当已知S(x0)=y0 ,S(xn)=yn时，(*)式中m0=1, ln=1, .(2) 当已知S(x0)=y0=m0, S(xn)=yn=mn时，(*)式化为 6. 最小二乘法用j(x)拟合数据(xk,yk) (k=1,2,n)，使得误差的平方和 为最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法。(1) 直线拟合 若，a0,a1满足法方程组 (2) 二次多项式拟合 若满足法方程组 二、实例例1 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日多项式Pn (x)，并计算P(1)。只给4对数据，求得的多项式不超过3次解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)例2 已知函数y=f(x)的数据如表中第1，2列。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。 kXkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差 00.400.410 75 10.550.578 151.116 00 20.650.696 751.168 000.280 00 30.800.888 111.275 730.358 930.197 33 40.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 例3 设是n+1个互异的插值节点，是拉格朗日插值基函数，证明：(1) (2) 证明 (1) Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln= 当f(x)1时，1由于，故有(2) 对于f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0mn),作拉格朗日插值多项式，有当nm1时，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以 注意：对于次数不超过n的多项式,利用上结果，有 = =可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例4 已知函数ex的下列数据用分段线性插值法求x=0.2的近似x50.30值。 ex0.904 8370.860 7080.778 8050.740 818 解 用分段线性插值，先求基函数。 所求分段线性插值函数为 所以，e0.2=P(0.2)=0.819 070.2+0.983 569=0.819 755例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是 解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y =2.45+1.25xkxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5例6选择填空题1. 设y= f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的解答：因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。设P(x)=a2x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定数。P(xk)=yk,即这是关于a2,a1,a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式所以，不超过2次的多项式是唯一的。2.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( ), 则P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值y0=0 (B) 一阶均差为0 (C) 二阶均差为0 (D)三阶均差为0答案：(C)解答：因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( ) (A) (B) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) (C) (D) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。4. 数据拟合的直线方程为y=a0+a1x，如果记那么系数a0,a1满足的方程组是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(B)解答：因为法方程组为由第1个方程得到，将其代入第2个方程得到整理得 故(B)正确。三、练习题1.已知函数y=f(x), 过点(2,5),(5,9),那么f(x)的线性插值多项式的基函数为 。2. 过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4(x) 。3. 已知多项式P(x)，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P(x)是( ) (A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C) 3次多项式 (D) 四次多项式4.已知y=f(x)的均差, .那么f(x4,x2,x0)=( )(A) 5, (B) 9 (C)14 (D) 85. 求数据拟合的直线方程y=a0+a1x的系数a0,a1是使 最小。 6. 求过这三个点 (0,1), (1,2), (2,3)的拉格朗日插值多项式。7. 构造例2的函数f(x)的牛顿插值多项式，并求f(0.596)的近似值。8. 设l0(x)是以n+1个互异点x0,x1,x2,xn 为节点的格朗日插值基函数 试证明： 9. 已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。 10已知数据对(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),x123(12,6.4), (13,5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。y 四、练习题答案y111. 2. 3. C 4. B 5. 6. x+17. 给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。N4(x)=0.410 75+1.116 00(x0.55)+0.280 00(x0.40)(x0.55) +0.197 33(x0.40)(x0.55)(x0.65)0.031 34(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)将x=0.596代入牛顿多项式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)=0.631 958.提示：求l0(x)的牛顿插值多项式。9. 10. y=0.145x2+3.324x12.794附录：教材中练习和习题答案练习11.1 (A) 1. 2. 3. P2(x)= 4. 4.7943(0.6x)+5.6464(x0.5) sin0.578910.54667 5. (B)1. 节点; 插值多项式; 被插值函数 2. C. 3. B 4. 5.B练习11.2 (A)1. f(x0,x1)=-5, f(x1,x2)=-1,f(x2,x3)=9; f(x0,x1,x2)=2,f(x1,x2,x3)=5,f(x0,x1,x2,x3)=12. f(x)=x3+x2+x+1 3. 39.0625(用牛顿插值多项式，)4. Dy0=0.02119,Dy1=0.02020,Dy2=0.01931,Dy3=0.01848,Dy4=0.01773, D2y0=-0.00099,D2y1=-0.00089,D2y2=-0.00083,D2y3=-0.00075, D3y0=0.00010,D3y1=0.00006,D3y2=0.00008, D4y0=-0.00004,D4y1=0.00002, D5y0=0.00006 5. N4(x)=(x3-4x2+3)- (B)1. 2. B 3.A 4.D 5. 6. C练习11.3 (A)1. 2.666 67 2. 略 3. 4. (B)1.C 2.见教材第11章公式(3.1) 3.A 4. S(x)在a,b上具有2阶连续导数S(xj)=yj (j=0,1,2,n) 在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,2,n-1)上，S(x)是3次的多项式. 5.B练习11.4 （A）1. y=-1.43+6.43p 2. S=5.34+0.30t 3. y=5.0454.043x1.009x2 4.y=11.6789e(-1.1109/x) (B)1. B 2. 3. (lnxk,yk)(k=1,2,n)习题111. P3(x)= 2. P3(x)=0.2(x3-13x2+69x-92)3. P1(x)= 2x-14. N3(x)= x3+x2+x+17