Lebesgue积分在Riemann积分中的若干应用.doc

Lebesgue积分在Riemann积分中的若干应用摘要 本文对勒贝格积分进行详细研究，重点论证了（1）勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性（2）勒贝格可积函数的范围比黎曼积分广泛（3）在勒贝格积分意义下，积分与极限交换顺序的条件比较弱。关键词 勒贝格，黎曼积分，区别，应用一、 预备知识定义1 设是定义在上的一个函数，J是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，就有则称函数在区间上可积或黎曼可积，数J称为在上的定积分或黎曼积分，记作定义2 设，则称为在上的勒贝格积分，记做或引理1 设，则，且=引理2 令设，则的充分必要条件是二、勒贝格积分在黎曼积分中的应用勒贝格积分在黎曼积分中的应用主要由可积性上体现出来，试看下列几个例子例1 若，则。证 由 且则有即。注：此例证法较分析上册的定理9.4中运用了一致连续保证所有小区间上的振幅一致地小于，一致连续性的知识，对比此种解法显得较为繁冗。而此题运用连续直接推出是区间上的有界函数，那么反之如何且看下面的例2例2 若，则。证：因，则又则有注：较分析上册9.5中的证明只证明了在上仅有一个间断点的情形，即该间断点为端点，运用了若在分割中存在有限个小区间的振幅大于等于，这样小区间长度总和一定可以任意小的知识，对比上面的解法同样显得繁冗且并不严谨。那么从单调的角度看例3例3 若是区间上的单调函数，则在上可积。证：不妨设单调递增，设有，则，易知此处，则有，由L积分可知。注：此处仍然体现了勒贝格积分在黎曼积分中的应用，通过间断点至多小于无穷来证明可积，分析上册定理9.6中运用可积的充要条件体现了单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。例4 设，试证证：由题意可知且则即同理可知，注：此例较泛函分析3节中的证法简单通俗，避免了多次代入公式易引发错误论证的弊端。三、简单比较L积分与R积分1 在R积分中可积，有也可积，反之则不成立，例如=（x是上的有理数时为1，无理数时为）在R上可积，但不可积，其大和为1，小和为，而在L积分中有很好的结论，L积分是绝对收敛积分。即在集合E上可测，L可积的充分必要条件是可积，这给研究问题带来了许多方便。2 在R积分中逐项积分问题，即积分与极限交换顺序问题，条件相当苛刻，要求被积函数一致收敛，极限才能通过积分号，这从运算角度看不仅不方便，而且限制太强，L积分比R积分要求条件少，对非负函数项级数几乎可无条件地逐项积分，就L控制收敛定理，只需存在控制函数，使得即可，因此L积分比R积分灵活的多。例5 狄利克雷函数把上有理点依次排列成为：作函数列则处处收敛于，且，在L积分意义下，由L控制收敛定理得：但不是R可积，尽管在R积分意义下，有3，在R积分下的二重积分化成累次积分计算时，要求被积函数在积分区域上连续，这一要求是比较高的，运算起来不太方便，而且L积分中，二重积分化成累次积分由博比尼定理给出了较弱的条件，即只要可积，特别是对非负可测函数来讲，可无条件地化成累次积分，这些结果运用起来比较方便。4.利用L积分可得出R积分比较深刻的结论，我们得到一个重要结果：上的有界函数可积的充分必要条件是在上几乎处处连续，即不连续点的长度为0，这是R积分的本质特性，从黎曼积分的自身理论是得不出来的，必须借助于L积分理论才能得到。 四、 勒贝格积分的延伸随着函数论，概率论等各门学科的发展，也暴露出来L积分的局限性。我们知道可以看做是在上的平均值，而也是在上的平均值，但此时，中接近1的点与接近0的点，对于求平均值的分量就不一样，这就需要用一个新的量来描述这种“偏重”。于是人们就设法对R积分进行了新的推广，而且力求比L积分更优越，于是产生了R-S，积分L-S，其中L-S积分是建立在L更广的测度理论上的。因此L积分理论还是有待发展的。参考文献：【1】 田民强，实变函数（N），厦门大学报，1996.11【2】 江泽坚，实变函数论（N），四川成都科技大学报，2004.4【3】 霍殿清，实变函数（M），东北师大，1982.8【4】 张奠宙，数学教育学（M），江西:江西教育出版社，1991【5】 佟庆伟，教育科研中的量化方法（M），安徽：中国科技大学出版社，1997【6】 张国楚，文科数学教育初论（M），山西：山西高校联合出版社，1996【7】 胡适耕，实变函数（M），北京：北京教育出版社，2004【8】 L.M菲赫金哥茨，微积分学教程（M），北京：北京高等教育出版社，1993【9】 陈传章，数学分析（M），北京：北京人民教育出版社，1979【10】华东师范大学数学系，数学分析（M），高等教育出版社，2001Lebesgue Integral in Some Applications of the Riemann integral Abstract：To forced the Lebesgue integral to conduct the deep research, Focuses on Lebesgue over Riemann Integral Superiority, forced the Begg integrable function the scope to be graceful the integral Lebanon to be more widespread than, in forced under the Begg integral significance, the integral and th