数学北师大版九年级上册解一元二次方程（一）.docx

用直接开平方法解一元二次方程河源市连平县元善中学 杨永生 一、教材分析 1教材的地位与作用 降幂解一元二次方程（直接开平方法）是（人教版）九年级上册第21章圆的第2节第1课时的内容，基于学生掌握一元二次方程概念的基础之上，提出了本课的具体学习任务：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课直接开方法内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。 2.教学重点与难点 教学重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思。 教学难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程。 二、教学目标分析： 1知识目标：了解形如的一元二次方程的解法直接开平方法。 2能力目标：能对缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程。 3情感目标： 经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力。 让学生在猜想与探究的过程中，体验成功的快乐，培养他们主动参与、合作意识，勇于创新和实践的科学精神。 三、学生知识状况分析 1.学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过开平方，知道一个正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完全平方公式。在本章前面一节课中，又学习了一元二次方程的概念，初步理解了一元二次方程解的意义。 2.学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经会解决了一些简单的现实问题，感受到解一元二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 四、教学方法 根据本节课的内容特点及学生的实际水平，采用分层递进、问题式和讲练结合法的教学方法，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。并在教学形式上充分利用电脑多媒体优化数学课堂教学，从生活实际出发，让学生亲身感受数学是大自然最奇妙的语言，激发学生学习的兴趣，提高课堂效率。 五、学生学法指导 学法：自主学习，合作学习，探究学习相结合。 根据教材的特点，以实际问题为出发点，以学生为主体，让学生自己观察、归纳，让他们在学习中学会学习；在亲身经历知识结论的探究中获得了对数学价值的新认识。 六、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：复习回顾；新知讲解；典例探究与练习提高；课堂小结；布置作业。采用“导学案”的上课形式。在整个教学过程中，我始终都注重学生的参与意识，注重引导学生从数学的角度去思考问题。并在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生真正体验成功的乐趣，从而树立学好数学的信心。 七、教学过程教 学 内 容 及 过 程学生活动与设计意图一、复习：1什么叫做平方根?平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方。 记作x=，即x=或x=。如：9的平方根是；的平方根是。平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方。2x2=4，则x=2。3.想一想：（1）求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？（2）如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=4，能否也可以用同样的方法来求解呢？以问题串的形式引导学生逐步深入地思考，通过第1个问题，引导学生复习平方根的概念和平方根的性质，通过第2个问题的回答让学生体会用开方法也可解简便的一元二次方程，激发学生的求知欲，为学生后面内容的学习作好铺垫。实际效果：第1和第2问选两个学生口答，由于问题较简单，学生很快回答出来，同时达到了激发学生探索一元二次方程解法的目的。第3问起到导入课题的作用。二、新知讲解直接开平方法解一元二次方程： 一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 对结构形如的一元二次方程来说，因为，所以在方程两边直接开平方，可得，进而求得。 注意：（1）直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它主要针对形如的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的定义。（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果取“正、负”。（3）当时，方程没有实数根。通过对平方根和平方根性质的认识，让学生用自己的语言归纳总结出用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质,而这种品质是在学生自觉行为中得到培养的，体现了学生良好的情感、态度、价值观。三、典例探究1用直接开平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x28=0；（2）（2x3）2=25；（3）（x1）2=8。 分析：（1）先变形得到x2=4，然后利用直接开平方法求解； （2）首先两边直接开平方可得2x3=5，再解一元一次方程即可 (3) 首先两边直接开平方可得x1=2，再解一元一次方程即可解答：解：（1）x2=4，两边直接开平方，得x1=2，x2=2（2）两边直接开平方，得2x3=5， 则2x3=5，2x3=5， 所以x1=4， x2=1 （3）两边直接开平方，得x1=2， 则x1=2，x1=-2， 所以x1=2+1， x2=-2+1. 总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解练习1（2015东西湖区校级模拟）解方程：（2x+3）225=0 分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答 解：移项得，（2x+3）2=25， 开方得，2x+3=5， 解得，x1=1，x2=4练习2（2014秋昆明校级期中）解方程：9（x+1）2=4（x2）2 分析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可。 解：两边开方得：3（x+1）=2（x2），即3（x+1）=2（x2），3（x+1）=2（x2）， 解得：x1=7，x2=2用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围【例2】（2015春南长区期末）若关于x的一元二次方程x2k=0有实数根，则（）Ak0 Bk0 Ck0 Dk0 分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k0即可 解：x2k=0， x2=k， 一元二次方程x2k=0有实数根，k0，故选：C 总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围. 练习3（2015春利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m0，n0），若方程有解，则必须（） An=0 Bm，n同号 Cn是m的整数倍 Dm，n异号 分析：首先求出x2的值为，再根据x20确定m、n的符号即可。 解：mx2+n=0，x2=， x20，0，0， n0，mn异号，故选：D。练习4（2015岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 解：关于x的方程mx2=3有两个实数根， m0故答案为：m0 点评：本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解。通过对例1的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用直接开方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式。点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）；ax2=b（a，b同号且a0）；（x+a）2=b（b0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a0）。法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”。（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体。（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点。点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程。点评：此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）；ax2=b（a，b同号且a0）；（x+a）2=b（b0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”。点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号。 因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n0 时，两边开平方便可求出它的根。四、课堂练习课本P37随堂练习五、课时小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x2=c（c0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如 那么，进而求得，达到降次转化之目的。这节课我们研究了一元二次方程的解法：直接开平方法。六、课后作业(一)课本P37习题23 (二)1预习内容P38七、板书设计：212直接开平方法一、复习与回顾二、直接开平方法三、典例探究四、课堂练习五、课堂小结六、课外作业用直接开方法解一元二次方程的教学反思 我所写的是用直接开方法解一元二次方程是本章解法的第一课时，我的设计思路如下： 因为学生在开始已经掌握了平方根和平方根性质，开始设置了3道较简单的问题，学生很快回答出来，同时达到了激发学生探索一元二次方程解法的目的，从而引出本节课的用直接开方法解一元二次方程，在学生掌握的过程中，选取不同类型的方程让学生进行求解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，让学生学会用类比的方法解决问题。 我认为本节课自己在实施学生主体参与方面做到比较成功： 1.巩固旧知对学生来说是非常重要的，尤其是初三年级的学生大部分已经有了厌学的情绪，或是怕自己跟不上，产生消极的心里，通过复习旧知，可唤起他们学习的积极性，大面积提高课堂效率。 2.从生活实例中引入新课，是数学课程标准的要求，学生们学习数学的目的就是为了应用数学知识解决实际问题，对他们感兴趣的话题他们就会愈学愈带劲，这样更能提高学困生的学习积极性。 3.初三数学又得体现分次优化，因此，在本节课的重点教学时，我备课翻阅了