数学建模案例分析--最优化方法建模2生产计划的制定.doc

2 生产计划的制定企业内部生产计划的制定是一项非常复杂的工作，让我们简要地分这样几个层次加以讨论。第一，在工厂一级，根据市场需求和人力、设备条件，以最大利润为目标制定产品生产计划；第二，在车间一级，根据产品生产计划、生产流程、资源约束以及费用参数等，以最小成本为目标，制定生产批量计划；第三，在车间内部，根据产品的加工时间和顺序，以完工时间最早或设备均衡生产为目标，给出各产品的作业排序。此外，不论哪个层次，当目标不止一个时，将使问题更加复杂。下面举例说明这些优化问题的建模过程。例1 某厂有种产品，单位数量产品的利润为，根据市场调查，其需求不超过，按照工厂生产能力，单位数量所需人力资源为，所需设备资源为，所需原料为，而工厂的人力、设备、原料资源限制分别为，问工厂在制定生产计划时应如何确定这种产品的产量。这类优化问题建模的关键是确定决策变量、目标函数和约束条件，并用数学形式（符号、式子等）将它们表达出来。决策变量应是问题要求确定的量各产品的产量，记以。目标函数显然应是总利润 （1）人力、设备、原料及需求量的限制构成了约束条件 （2） （3） （4） （5）问题归结为在条件（2）（5）下求，使（1）式给出的最大。在运筹学中（1）（5）称为线性规划，因为决策变量在目标函数和约束条件中都是线性的。例2 工厂已经拟定了对某种产品的需求量，譬如10个时段（可以一周或一天为一时段）的需求分别为，该产品的生产流程如图1，其中1是（最终）产品，26是它的零部件，箭头旁的数字是装配系数，如4个5装配1个3。1至6统称项目。现在考虑两种费用：生产准备费和贮存费。如果某时段生产项目，则需准备费（与生产数量无关）；如果将以后时段对的需求也提前生产出来（目的在于节省准备费），则单位时段需贮存费（可看作资金的积压）。假定各项目的生产能力都是无限的，即在一个时段内可以完成任意数量的生产，且各项目都不需要生产提前期。试制订各项目的生产批量计划，即每个项目每时段各生产多少，使总费用最少。12453621411图1决策变量是各项目在各时段的产量，记为项目在时段的产量。目标函数是生产准备费与贮存费之和，记为项目在时段的贮存量，则总费用可表示为 （1）其中 （2）与的关系可表为以下的约束条件 （3） （4）其他约束条件有 （5） （6） 问题归结为条件（2）（6）下求，使（1）式给出的最小，这是无资源约束下多项目的生产批量模型。因为目标函数中的取整数值0，1（一般和取值相当大，可视为实数），所以在运筹学中称为（混合）整数规划。在模型中没有考虑项目的生产费用，这是因为需求必须满足，各时段生产量之和是个常数，只要各项目单位数量的生产费用不随时段改变，那么总的生产费用仍为常数，所以最优决策与这部分费用无关。例3 如果例1给出的问题还要考虑下列因素，试重新求解。1）要力争达到并超过去年的总利润；2）充分利用现有人力资源，但不希望增加劳动力；3）和属同类产品，但已老化，将退出市场，故的产量不要超过。与例1只有一个目标不同，这里有3个目标，属于多目标决策问题，目标规划模型是解决这类问题的方法之一，其思路是首先引入一些新的决策变量，即对每个目标设一个正偏差变量和一个负偏差变量（指决策值与目标值间的偏差），然后利用权重系数，将多目标问题化为单目标问题，使这些偏差的总和尽量小。对于本题，我们设利润超过的部分为正偏差，不足的部分为负偏差，人力资源超过的部分为正偏差，不足的部分为负偏差；产量超过产量的部分为正偏差，不足部分为负偏差。需要指出的是，由于决策值不可能既超过目标值，又未达到目标值，二者必有一个为零，且按定义，它们均为非负值。按照问题的要求，在将这3个目标综合为单目标时，应使，尽量小（请注意，这里不应包括和），设这3个目标的权重分别为，并不妨令，那么这个模型的目标函数为 （1）而原来由利润给出的目标函数（例1（1）式）变为约束条件 （2）原来的人力资源约束（例1（2）式）化为 （3）根据，的定义还应有约束 （4）例1中的