题库第2讲函数的单调性与最大(小)值.doc

第2讲 函数的单调性与最大(小)值一、选择题1下列函数中，既是偶函数又在(0，)内单调递减的函数是()Ayx2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析对于C中函数，当x0时，ylg x，故为(0，)上的减函数，且ylg |x|为偶函数答案C2已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)f(1)，|x|1，解得x1或x1.答案D3若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是()A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析 yax与y在(0，)上都是减函数，a0，b0，yax2bx的对称轴方程x0，yax2bx在(0，)上为减函数答案 B4定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)2xy(x，yR)，f(1)2，则 f(3)等于 ()A2 B3 C6 D9解析f(1)f(01)f(0)f(1)201f(0)f(1)，f(0)0.f(0)f(11)f(1)f(1)2(1)1f(1)f(1)2，f(1)0.f(1)f(21)f(2)f(1)2(2)1f(2)f(1)4，f(2)2.f(2)f(31)f(3)f(1)2(3)1f(3)f(1)6，f(3)6.答案C5函数yx22x3(x0)的单调增区间是()A(0，) B(，1C(，0) D(，1解析二次函数的对称轴为x1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(，0)答案C6设函数yf(x)在(，)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2|x|，当K时，函数fK(x)的单调递增区间为 ()A(，0) B(0，) C(，1) D(1，)解析f(x)f(x)f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(，1)答案C二、填空题7奇函数f(x)(xR)满足：f(4)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，则不等式(x24)f(x)0，即x2时，f(x)0.由f(x)的图像知，x4或2x4；当x240，即2x0，则2x0)对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a1；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f0在上恒成立，则2a10，a1，故正确；由图象可知在(，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f0且a1)的单调区间解 当a1时，函数ya1x2在区间0，)上是减函数，在区间(，0上是增函数；当0ax12，则f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2x12，得x1x2(x1x2)16，x1x20.要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需f(x1)f(x2)0恒成立，则a16.13已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若abf(x)时的x的取值范围解(1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0.(i)当a0时，x，解得xlog；(ii)当a0，b0时，x，解得xlog.14已知函数f(x)在(1,1)上有定义，f1，当且仅当0x1时，f(x)0，且对任意x、y(1,1)都有f(x)f(y)f，试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1,1)上单调递减证明(1)函数f(x)的定义域为(1,1)，再由f(x)f(y)f，令xy0，得f(0)0，令yx，得f(x)f(x)ff(0)0，f(x)f(x)，即f(x)为奇函数(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减令0x1x21，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f.0x1x20,1x1x20，即0.又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x1