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泛函分析在控制工程中的应用作者： 景苏银学号： 0211443单位：兰州交通大学日期：2011.12.1 泛函分析在控制工程中的应用【摘 要】本文综合运用函数论，几何学，代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论，通过泛函理论求解工程中可微方程的极值问题，为工程的设计提供了理论基础。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。【关键词】泛函分析 控制工程 控制 优化泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。主要内容有拓扑线性空间等。它广泛应用于物理学、力学以及工程技术等许多专业领域。 泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。 Functional analysis in water conservancy of applicationAbstract：This article through the functional theory solution of differential equations can be hydraulic extremum problems, for water conservancy project design provides theory basis. It draws function theory, geometry, algebra point of view to study the infinite dimensional vector space function, operator and limit theory. It can be as infinite dimensional vector space analytic geometry and mathematics analysis。 Functional Analysis (Functional Analysis) is the modern a branch of mathematics, belongs to learn Analysis, the study of main object is function consists of the space. Functional analysis is made to transform (such as Fourier transform, etc.) of the nature of the study and differential equation and integral equation of research and development. Using functional as a statement from the variational method, representative of the function for function. And take Hector (Stefan Banach) is functional analysis of the theory of the primary founders, and mathematician and physicist voltaire pull (Vito Volterra) to the wide application of functional analysis is an important contribution. Functional analysis is the 1930 s of the formation of the mathematics branch. From the variational problem, integral equation and theoretical physics research develops. Functional analysis in mathematical physics equation, probability theory, the calculation of mathematics branch all has the application, is also a degree of freedom with an infinite physical system mathematical tools. Main content have topological space, etc. It is widely used in physics and mechanics and engineering skills and Art etc many professional fields.【正文】1 ：理论依据泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。力学和工程中常见的有：（i）度量（距离）空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分 是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。每个元（常称向量）配有番薯|x|（是普通向量长度的推广）。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。于是，具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。（iv）Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有十分良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。（v）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。力学家和工程师对此尤感兴趣。由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容最丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。（vii）Sobolev空间Wm,p（）（p1，m0）3。它是由Lp（）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，并配上Sobolev空间。它是特殊的线性赋范空间。其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为Hm（），称作Hilbert-Sobolev空间。泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。例如微分，Frchet微分和次微分等。为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅水工中考虑的极值问题表示为： 其中； L 为V R的连续线性泛函。若V是完备的Banach空间，K是V的非空的闭凸子集，为具有连续对称的双线性型,并且在下述意义下V是椭圆的，即存在使得，则极值问题存在唯一解。为具有连续对称的双线性型是指：, 下面给出该问题的泛函证明：由于双线性型是对称的，因此它是V 上的一内积，又由于是连续且V是椭圆的，因此由内积诱导出来的范数等价于原来的范数： 由于V在范数下是完备的，因此V在范数下也是完备的，从而V在内积下是Hilbert空间，由Riesz表示定理，存在Riesz映射：，使得对，则，且注意到的对称性，可见 因此极值即为求V中元素到子集K的最小距离问题，由于K是非空闭的，则有泛函分析的投影定理可以知道该极值问题的解是存在的，再由K是凸的，可知该问题有唯一解。下面就具体问题谈泛函在水利工程中的应用。2 升变分解法水泥在浇筑后,伴随着其水化硬结过程,其内部会产生水化热,使水泥的温度逐渐上升,然后散发。水泥的水化热发生过程集中在早期,最初几天水泥的温度急剧升高,当达到最高温度后,温度开始下降。由于水泥内部温度与外界温度相差悬殊,因此会在水泥表面引起巨大拉应力,并导致开裂。裂缝不仅会影响水泥的外观,还会影响建筑物的安全性,因此,有必要研究水泥的温度应力以防止由温度应力引起的开裂。求解温度应力以求解温度场为基础。计算温度场的分布方程有许多方法,下面以混凝土块的一维不稳定温度场导热方程为例,从变分原理出发,运用法求解该方程。2升导热方程求解水泥的水化热发假定混凝土的浇筑温度和气温相同,作为温度计算的基准值。水泥绝热温升的表达式：=0(1-m)式中:0水泥最终绝热温升,;水泥在龄期时的绝热温升,;m水泥发热速率参数,1/;龄期,。该状况下的一维导热偏微分方程为:边界条件为：由于该方程包含有时间变量,所以可用近似的方法来处理。即先固定时间变量在某一时刻,在该时刻下对泛函进行变分计算,在求出温度场后,再考虑时间的变化。根据一维导热偏微分方程及其边界条件和初始条件,可得与方程(4)等价的泛函:求极值：得：用法求出了该方程的近似解。变分法是有限元法的基础,一般情况下,通过该方法所得的近似解可以代替工程上难以用解析方法求得的精确解。3 ：无铰圆拱稳定的截面优化设计无铰圆拱的截面优化设计，采用泛函极值分析，直接应用瑞利里兹法，可近似计算出相应的临界荷载，为优化设计提出了一个新方法本文的分析可适用于各种边界约束、各类截面形状和任意荷载分布的圆拱在相同材料的用量下，截面优化圆拱较等截面圆拱的临界荷载大得多，在工程设计中具有较好的经济性，表明截面优化设计具有较高的理论性和实用性。31 问题的提出优化问题可用数学积分式表示为：在式中，为圆拱的总势能，为u圆拱的轴向位移，w为圆拱的径向位移，而为圆拱横截面的转角，（uu）w由式（）可知，此优化问题为带定积分约束条件的泛函极值问题，应用拉格朗日乘子法，可将条件极值问题方便地化为无条件极值问题因此，构造一个新泛函为：上式中，为拉格朗日乘子新泛函驻值条件为：代入式中作求导运算，整理可得上式为圆拱截面优化设计的稳定控制方程，再加上相应的边界条件，即成为定解问题。4.工程应用中的几种泛函方法直交投影法：该方法把调和方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。Minhlin在讨论方截面杆的Saint-Venant扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程Dirichlet问题之解，并证明所算得的最大剪应力之精度胜于Ritz法。此外还给出一般三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0（其中A是下有界、正线性椭圆微分算子）的应用。Maurin分析了微分方程的Dirichlet问题。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。以后Rafalski把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了Maurin所发现的两种方法的关系。Bessel不等式中的等号，对应于f等于它在生成空间中的直交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题，以及更一般的各项异性板的变形方程。Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。Cauchy-Schuwarz和Bessel不等式；超圆方法这两个不等式因几何意义明显易于求解具体问题。Diaz及其同事较早地把这些不等式应用于弹性力学，他们证明Rayleigh-Ritz和Trefftz方法可由Cauchy-Schuwarz不等式给出。Rayleigh-Ritz近似解相当于直交三角形之斜边，精确解为直角边；而Trefftz近似解相当于直交三角形的直角边，精确解为斜边。从而，这两个近似解给出线性编制问题精确解的上下界限。最近，Nowinski利用Cauchy-Schuwarz不等式研究各向异性板弯曲的广义双调和边值问题解的界限和各向异性杆的扭转刚度。数值结果表明精确度良好。Stumpf利用直和分解对各类弹性量尤其薄板理论中的弹性量建立点状界限。这两个不等式又能导出与实用问题有关的许多其它重要不等式和方法。值得一体的是Prager和Synge的超圆方法。在状态空间H中选定就范直交系g，任何状态可作Fourier展开：。用两个近似向量逼近并界限精确解f。把满足平衡方程和应力边界的所有状态视为约束子集C。把满足协调方程和位移边界条件的所有状态视为最小子集M。精确解是这两子集之交。通常难于找到C和M中全部向量。于是，只能分别在部分C和M中找最接近f的两个向量和，称为极点。，和三向量的断电位于同一个“超圆”上。圆心位于（+）/2，半径为/2，极点位于同一直径的两端，该方法的基本不等式为（，）（，）（，）。当超圆退化为一点时，得到精确解。Synge在他的专著和一系列论文中已把超圆方法应用于二维调和方程的Dirichlet问题；Neumann型扭转问题；任意截面弯扭杆的Dirichlet问题；非确定度量的弹性和电磁振动问题。他还考虑n维黎曼空间的情形。Greenberg和Prager在弹性板问题中推广了此方法，获得可接受的精度。Nordgren确定板近似解的误差限。Nowinski和Cho讨论重力场中弹性柱的情形，其数值解与Galerkin法相比是一致的。可以把超圆方法推广于任何具有正测度（例如能和功率）的线性系统。包括广义弹性连续体、电磁组合、交换场和电子网络等。还可推广于点状边界条件。这里应从更一般意义下理解“点状”不仅指点力状态，还包括偶极和多极状态，以及相应的自应力状态。实验技术中的泛函方法 为了预测船舶的机动特征，在近代船模实验中用“缓慢运动导数”描述偏离定常参考运动的水动作用力和力矩。但在非定常试验中发现这里有疑问的。尽管引入补充项或另行定义“非线性导数”等，但对一船模的不同实验得到的数据作比较，仍有很大差异。Bishop等认为原因在于没有考虑记忆效应，建议用Volterra型线性泛函表示扰动的水动力，并提出相应的试验处理技术。在倾斜曳引试验和PMM振动试验中，证明上述泛函方法与实验一致。在圆形水渠试验中，本方法尽管测点显著减少，仍保证相当好的可靠性，而且弗时少。显示出泛函方法对船舶稳定性讨论是很有效的工具。也启示我们若对泛函的限制作进一步削弱的话，也许对急剧机动分析会奏效。另外，若与随机过程理论结合，可望讨论船舶在波中的阻抗变化、方向稳定性与控制等问题。在确定热应力下材料性能的试验中，通常让材料样本在给定温度下记录应变。如何以最佳方式控制样本的温度剖面，这是分布参数化控制问题。为把有限维优化的共轭梯度法推广到无限维空间，用线性方程作为试验过程的数学模型，用最小二乘法计算系统的Green函数，然后确定最佳作用函数，给出所需的温度剖面。在Hilbert空间中，利用接续的无约束最小过程逼近该约束优化。把计算结果与实验比较，证实在一般情况下本方法是合理的。但在高温时，