第六节函数与方程及最值问题

第六节函数与方程及最值问题【热点聚焦】函数与方程及最值问题一直是高考的重点内容，在历届的高考试题中均占有一定的比重。特别是函数与方程思想，更是思考问题与解决问题常用的方法，应重点掌握。【基础知识】一函数最大（小）值定义1最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).二函数与方程函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点函数零点的求法：求函数的零点： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点三二分法及步骤对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1确定区间，验证，给定精度；2求区间，的中点；3计算： 若=，则就是函数的零点； 若，则令=（此时零点）； 若，则令=（此时零点）；4判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤24四函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点用二分法求函数的变号零点：二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点【课前训练】1（2003北京春）函数f（x）=的最大值是（ ）A. B. C. D.2函数f（x）=ax（a0，a1）在1，2中的最大值比最小值大，则a的值为（）ABC或D2或3（2005年福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A5B4C3D24设函数在区间上连续，若满足_，若方程在区间上一定有实根。5（1999全国）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_.【试题精析】【例1】（2002全国）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR.（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值.【评述】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为xR，f（0）=|a|+10，由此排除f（x）是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，f（x）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想.【例2】（2000春季北京、安徽文）已知二次函数f（x）（lga）x22x4lga的最大值为3，求a的值.【评述】本小题主要考查二次函数最大值和最小值的概念以及对于配方法、对数方程、二次方程的解法的运用能力.【例3】一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（%）16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？【例4】（2005年上海卷）对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当xDf且xDg 规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且xDg g(x) 当xDf且xDg(1) 若函数f(x)=2x+3,x1; g(x)=x2,xR,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;(3) 若g(x)=f(x+), 其中是常数,且0,请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.【例5】（2005年广东卷）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论【例6】某电器公司生产A种瑾的家庭电器。1996年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价。1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低。2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率。求（1）2000年每台电脑的生产成本；（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996年2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）。【点评】这是一个降低成本提高效率的问题。注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%。成本+利润出厂价；利润成本利润率。在第（2）问中所要解的方程要求用二分法来解，主要目的地是熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想。【针对训练】1求方程在0，1内的近似根，用二分法计算到达到精度要求。那么所取误差限是（）A0.05B0.005C0005D0.000052若函数唯一的零点在区间（1，3）、（1，4）、（1，5）内，那么下列命题中错误的是（）A函数在（1，2）或内有零点B函数在（3，5）内无零点C函数在（2，5）内有零点D函数在（2，4）内不一定有零点.3若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，那么下列命题中正确的是（A）函数f(x)在区间（0，1）内有零点 （B）函数f(x)在区间（0，1）或（1，2）内有零点 （C）函数f(x)在区间2，16内无零点 （D）函数f(x)在区间（1，16）内无零点4下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）5（2006年湖北卷）关于的方程，给出下列四个命题： 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （B）A. 0 B. 1 C. 2 D. 36用二分法求方程在区间2，3内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是_。7（1998上海）函数y的最大值是 .8函数的零点个数为 .9（2007年山东日照试题）A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.（）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；（）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小.10我国从1998年到2002年，每年的国内生产总值如下表：年份19981999200020012002生产总值（亿元）78345820678944295933102398（）根据已知数据，估计我国2003年的国内生产总值；（）据资料可知我国2003年的国内生产总值为116694亿元，你的预测是否准确，若误差较大，能修正你所构造的模型吗？第六节参考答案【课前训练】1答案：D解析：首先讨论分母1x（1x）的取值范围：1x（1x）=x2x+1=（x）2+.因此，有00，b0），a1，又ab=a=（a1）+1=（a+3）+=a1+4+=（a1）+52+5=9.等号成立条件为a1=，即a=3.【试题精析】【例1】（解：（1）当a=0时，函数f（x）=（x）2+|x|+1=f（x），此时f（x）为偶函数.当a0时，f（a）=a2+1，f（a）=a2+2|a|+1，f（a）f（a），f（a）f（a）.此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）当xa时，函数f（x）=x2x+a+1=（x）2+a+.若a，则函数f（x）在（，a上单调递减，从而，函数f（x）在（，a上的最小值为f（a）=a2+1.若a，则函数f（x）在（，a上的最小值为f（）=+a，且f（）f（a）.当xa时，函数f（x）=x2+xa+1=（x+）2a+.若a，则函数f（x）在a，+上的最小值为f（）=a，且f（）f（a）.若a，则函数f（x）在a，+）上单调递增，从而，函数f（x）在a，+）上的最小值为f（a）=a2+1.综上，当a时，函数f（x）的最小值是a.当a时，函数f（x）的最小值是a2+1.当a时，函数f（x）的最小值是a+.【例2】解：原函数式可化成f（x）由已知，f（x）有最大值3，所以lga0，并且4lga3，整理得 4（lga）23lga10，解得 lga1，lgalga0，故取lgaa【例3】解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得=150由于1，可知090因此问题转化为：当090时，求的最大值的问题将的两边同除以一个常数0.75，得1=25017600由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是16025=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）所以该客房定价应为135元（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）【例4】解：(1) (2) 当x1时, h(x)= (2x+3)(x2)=2x2+7x-6=2(x)2+，h(x); 当x1时, h(x)1时方程有2个不等的根；（2）当0t1时方程有4个根；（3）当t=1时，方程有3个根。故当t=0时，代入方程，解得k=0此时方程有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程有两个不等正根时，即此时方程有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；故选B。6答案：由计算器可算得，所以下一个有根区间是2，2.57答案：4解析：当x0时，y的最大值为3；当0x1时，y的最大值为4；当x1时，y的最大值不存在，但此时y4.故y的最大值是4.8答案：2个9解：（）y=5x2+(100x)2（10x90）；（）由y=5x2+(100x)2x2500x+25000.则当x米时，y最小.故当核电站建在距A城米时，才能使供电费用最小.10解：（）本小题只要能建立一个正确的数学模型即可给分（例如根据两点得出直线方程等）.下面利用excel给出几个模型，供参考：（1）直线型：将x6代入y6197.2x71045中得2003年的国内生产总值为108228.2亿元.（2）二次函数型：将x6代入y328.71x24224.9x73346中得2003年的国内生产总值为110529亿元.（3）四次函数型