数学准备—矢量及其运算1

数学预备知识 矢量及其运算 一 矢量的概念1 矢量的定义 既有大小又有方向的量叫做矢量 向量 记号 大小表示 F标量 仅有大小的量叫做标量如 质量m 时间t 路程s 动能Ek 势能Ep等 标量仅有大小没有方向但有正负 如温度t AB 2 矢量的图形表示 带有箭头的线段线段长度 矢量大小箭头指向 矢量的方向 F 5N 方向为水平向右 3 两矢量相等的条件 大小相等 方向相同 与起点无关 4 矢量可以平移 二 矢量的加法1 矢量加法的平行四边形法则两矢量与的和是以这两个矢量为两边的平行四边形的对角线矢量 记为 5 负矢量 两矢量等大反向互称为负矢量 矢量加法的表示式 通常将这种用平行四边形的对角线来求出两矢量和的方法叫 矢量加法的平行四边形法则 称为 的合矢量 称为的两个分矢量据余弦定理 c矢量的大小 规定 矢量的方向是 与任一分矢量之间的夹角 矢量的定义 既有大小又有方向 加法运算时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量 a 两矢量相加 要将一个矢量的起点移到另一个矢量的终点 然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点 即为两矢量的和 由于三个矢量构成一个三角形 所以称为矢量加法的三角形法则 应当注意 合矢量可大于 等于 小于其它任一分矢量 或 2 矢量加法的三角形法则 即三角形的任一边可大于 等于 小于其它任一边 依次作出各个矢量 其中后一个矢量的起点正好是前一个矢量的终点 那么从第一个矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的矢量 即它们的矢量和 此时所有的分矢量与合矢量围成一个多边形 所以称为矢量加法的多边形法则 3 矢量加法的多边形法则 在共点力的作用下 物体处于平衡状态时 合力为零 构成一个封闭的多边形 多力平衡力多边形自行封闭 注 三力平衡时 构成一个封闭的三角形 三力平衡力三角形自行封闭 三 矢量的减法1 矢量减法的平行四边形法则 可见求与的差即求与的和 可以按平行四边形法则或三角形法则计算 即矢量的减法实质上仍是矢量的加法 矢量的加 减法统称为矢量的合成 2 矢量减法的三角形法则两矢量相减 要将它们移到一个共同的起点 然后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢量即为所求之差 如 小结 由分矢量求合矢量 加法 或由合矢量求分矢量 减法 从数学角度来说就是求解三角形的边和角的问题 因此一切解算三角形的数学方法均可使用 可见 如 正弦定理 余弦定理 勾股定理 等边三角形 相似三角形 全等三角形 菱形特性等都可以使用 注意 已知合矢量F的大小和方向与另一个分矢量F1的方向 则另一个分矢量F2与F1相互垂直时F2有极小值且 已知一个分矢量F1的大小和方向与合矢量F的方向 则另一个分矢量F2与合矢量F相互垂直时有极小值即 F2 四 矢量的正交分解合成法 矢量的正交分解法 矢量的加 减法的平行四边形法则或三角形法则 均为矢量合成的几何法 用几何法处理两个矢量的合成还是比较简单的 但对于多个矢量的合成问题再用几何法就显得麻烦了 为解决此问题人们引入了矢量合成的解析法 正交分解合成法 从而将矢量计算转化为代数计算 使多个矢量的合成问题变的简单了 1 正交分解 一个矢量a对应一个平行四边形的对角线 一个对角线对应有无数个平行四边形 而一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢量 在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分矢量 将一个矢量在选定的直角坐标系中 沿两个坐标轴的方向分解 矢量的正交分解法 如右图所示 矢量的方向 矢量的大小 矢量a与x轴正向夹角 可正 可负 可正 可负 注 已知一个矢量的大小和方向 它在直角坐标系中的分量唯一确定 反之已知一个矢量在直角坐标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方向 2 正交合成求 解 又 方向 再求 解 再如 计算 计算 例 已知方向如图 求合力F 解 利用正交分解合成法 155 124N 300 212N 300 212N F与x轴负方向夹角为55 F与x轴方向夹角 五在同一直线上的矢量的运算 在同一直线上的矢量其方向仅有两个 因此可以用正 负两个符号表示两个方向 具体做法是 沿着矢量所在的直线选定一个正方向 即建立一维坐标系 直线坐标系 凡方向与正方向相同的矢量取正值 凡方向与正方向相反的矢量取负值 这样用一个带有正 负号的数值把矢量的大小和方向都表示出来 从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算 实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用 如 a 5b 3 c a b 5 3 2 方向与正方向同 当然也可用平行四边形法则 或 六 两矢量的乘法1 两矢量的点积 数量积 定义 两个矢量和的乘积定义为 两矢量之间的夹角 C矢量大小为2方向与规定正方向相反 b 3a 5 c a b 5 3 2 注 由于这种矢量的乘法是在和之间放上一点来表示的 因此积得点积 由于这种乘积的实际定义是 这是一个数量 标量 因此又称为数量积 如 物体向右运动求力F可作的功W 2 两矢量的叉积 矢量积