第二节函数的概念与表示

第二节函数的基本概念与表示【热点聚焦】函数的概念是理解函数的基础，在其中所有的知识点中，函数的定义域、值域问题、解析式与函数的图象在高考试题中屡有出现，为此需要重点掌握函数的基本概念。【基础知识】1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.特别提示函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.4函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.【课前训练】1（2004年全国）设函数f（x）=则使得f（x）1的自变量x的取值范围为（）A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，102（2004年湖北，3）已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A. B.C.D.3设M=x|2x2，N=y|0y2，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是4函数y=的定义域为_，值域为_.5（2004年浙江，文13）已知f（x）=则不等式xf（x）+x2的解集是_.6（2006年辽宁卷）设则_【例题精析】【例1】如果函数f（x）=（x+a）3对任意xR都有f（1+x）=f（1x），试求f（2）+ f（2）的值.【例2】设f（x）是定义在（，+）上的函数，对一切xR均有f（x）+f（x+2）=0，当1x1时，f（x）=2x1，求当1x3时，函数f（x）的解析式.【评述】将1x3转化成1x21，再利用已知条件是解本题的关键.【例3】若函数f（x）=的值域为1，5，求实数a、c.【评述】求f（x）=（a12+a220）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.【例4】( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.（）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.【例5】如下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点（起点）向A点（终点）移动，设P点移动的路程为x，ABP的面积为y=f（x）.（1）求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式；（2）作出函数的图象，并根据图象求y的最大值.【例6】设m=（log2x）2+（t2）log2x+1t，若t在区间2，2上变化时，m值恒正，求x的取值范围.【针对训练】1（2006年湖北卷）设，则的定义域为 （） A. B. C. D. 2（2005年春季北京，文2）函数f（x）=|x1|的图象是3某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是A.10%B.15%C.18%D.20%4（2006年广东卷）函数的定义域是 A. B. C. D. 5已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是A.aB.12a0C.12a0D.a6（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。7如果ff（x）=2x1，则一次函数f（x）=_.8（2007年北京市西城区模拟题）已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.9（2007年山东临沂模拟考试文科第18题）某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min按1 min计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为4311.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min）10在ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，建立y与x的函数关系式，并指出其定义域.第二节参考答案【课前训练】1解析：f（x）是分段函数，故f（x）1应分段求解.当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f（x）1413x10，1x10.综上所述，x2或0x10.答案：A.2解析：令=t，则x=，f（t）=.f（x）=.答案：C3解析：A项定义域为2，0，D项值域不是0，2，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.4答案：1，2 0，5解析：x0时，f（x）=1，xf（x）+x2x1，0x1；当x0时，f（x）=0，xf（x）+x2x2，x0.综上x1.答案：x|x16解：.【例题精析】【例1】解：对任意xR，总有f（1+x）=f（1x），当x=0时应有f（1+0）=f（10），即f（1）=f（1）.f（1）=0.又f（x）=（x+a）3，f（1）=（1+a）3.故有（1+a）30a=1.f（x）=（x1）3.f（2）+f（2）=（21）3（21）313（3）326.【例2】解：设1x3，则1x21，又对任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，f（x+2）=f（x）.f（x2）=f（x2）+2=f（x）.又1x21时，f（x2）=2（x2）1=2x5，f（x）=f（x2）=2x+5（1x3）.【例3】解：由y=f（x）=，得x2yax+cy1=0.当y=0时，ax=1，a0.当y0时，xR，=a24y（cy1）0.4cy24ya20.1y5，1、5是方程4cy24ya2=0的两根.【例4】解：（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.（）因为对任意xR，有f(f(x)- x2 +x)=f(x)- x2 +x.又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.所以对任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 x.但方程x2 x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x20.若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 x+1.易验证该函数满足题设条件.综上，所求函数为f(x)= x2 x+1（xR）.【例5】解：（1）这个函数的定义域为（0，12）.当0x4时，S=f（x）=4x=2x；当4x8时，S=f（x）=8；当8x12时，S=f（x）=4（12x）=2（12x）=242x.这个函数的解析式为f（x）= （2）其图形为 由图知，f（x）max=8.【例6】解：由m=log2x+（t1）（log2x1）0，得 或 在中，（log2x1）+t0对于t2，2恒成立时，应有log2x12，即x8；在中，（log2x1）+t0对于t2，2恒成立时，应有log2x12，即0x.综上，得x8或0x.评述：本题还可用如下方法求解：m=（log2x1）t+（log2x）22log2x+1关于变量t的图象是直线，要t2，2时m值恒正，只要t=2和2时m的值恒正，即有log2x3或log2x1.x8或0x.【针对训练】1解析：由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为选B.2解析：转化为分段函数y= 答案：B3解析：设降价百分率为x%，2000（1x%）2=1280.解得x=20.答案：D4解：由，故选B.5解析：由a=0或可得12a0.答案：B6解：由得，所以，则7解析：设f（x）=kx+b，则ff（x）=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k2x+kb+b.由于该函数与y=2x1是同一个函数，k2=2且kb+b=1.k=.当k=时，b=1；当k=时，b=1+.答案：f（x）=x+1或f（x）=x+1+8解析：f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2，f（x1）=当x3时，x（x3）102x5，故3x5.当x3时，2x10x5，故5x3.总之x（5，5）.答案：2 x|5x59解：设小灵通每月的费用为y1元，全球通的费用为y2元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，则y1=25+（4x+3x+x+x）0.2+0.1x=25+1.9x，y2=10+2（0.24x+0.43x+0.6x+0.8x）=10+6