第二轮数列的通项和求和

2009-2010年高考第二轮复习专数列数列的通项和求和一、知识点梳理1数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 2求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列。累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1归纳、猜想法。3数列求和重要公式1+2+n=n(n+1)；12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：=；nn！=(n+1)!n!；=cotcot2Cn1r1=CnrCn1r；=等。错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。 二、例题选讲1(） 数列an中，a1 =1，对所有nN+都有a1 a2an =n2,则a3+ a5等于-（ A ）A B C D2（）已知数列满足，则数列是-（ A ）A等差数列 B等比数列 C既成等差数列又成等比数列 D既非等差数列又非等比数列3（）已知数列an的通项公式是an=,其中a、b均为正常数,那么an与an+1的大小关系是-( A )A anan+1 Banan+1 Canan+1 D与n的取值相关4（) 设，则等于-（ D ）（A） （B） （C）（D）5（）已知数列an是递增数列，且对所有nN+都有an= n2+n恒成立，则实数的取值范围是-（ D ）A（， ） B（0，） C（2，） D（3，） 6（) 数列an中，已知S1 =1， S2=2 ，且Sn+13Sn +2Sn1 =0(nN*)，则此数列为-（ D ）A等差数列 B等比数列 C从第二项起为等差数列 D从第二项起为等比数列7（) 已知数列an的前n项和Sn=n(5n1), nN+,现在从前m 项a1, a2, am中抽出一项（不是a1，也不是am），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是第几项（ D ）A 6 B 8 C 12 D158（）已知整数对的数列如下：（1，1）（1，2）（2，1）（1，3）（2，2）（3，1）（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）（1，5）（2，4），则第60个数对是-（ D ）A （3，8） B （4，7） C （4，8） D（5，7） 9（) 将n2个正整数1，2，3，n2填入n n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫n阶幻方，定义f(n)为n阶幻方对角线上的数的和，如f(3)=15，那么f(4)=-（ C ）A 32 B33 C 34 D3510（）数列的前n项和为-( D )A、4 B、4+ C、8 D、611（）已知，则 12（）在数列中，且，则13（）数列an满足：a1 =3，a2=6，且an+2= an+1an，则a2001=_3_.14（） 15（）在等比数列an中，若a9a11=4，则数列前19项之和为_-19_。16（）已知数列的通项，则其前项和为 17（）求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）；（4）； （5）解：（1）（2），（3）， 当时， 当时， ， ， 两式相减得 ，（4）， 原式（5）设， 又， ，18（）设是正数组成的数列，其前项和为，并且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；令，求解：（1）由题意： ，令，解得令， 解得令， 解得 该数列的前三项为（2），由此，整理得：由题意：，即，数列为等差数列，其中公差，（3） 19（）已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2 20（）已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)求数列a的通项公式；若数列bn满足4k1-14k2-14k-1=(an+1)km(nN*),证明:bn是等差数列;证明:(nN*).解：是以为首项，2为公比的等比数列。即，得即，得即是等差数列。证明：21（）设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列bn的通项bn；(3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1. 解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t.a2=.又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=3t得3tan(2t+3)an1=0.,n=2,3,4,所以an是一个首项为1公比为的等比数列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1.可见bn是一个首项为1，公差为的等差数列.于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=n(+)= (2n2+3n)三、课后作业1(）在等差数列an中，若aa+ab=12,Sn是数列an的前n项和，则Sn的值为（B）（A）48 (B)54 (C)60 (D)662（）数列an的通项公式是an=，若前n项和为10，则项数n为-（ C ）A 11 B 99 C 120 D 1213（）已知则中最大项为-（ C ）A第12项 B第13项 C第12项或第13项 D不存在4（) 设函数满足 ，且，则（B）A95 B97 C105 D192 5（）设数列的前项和为，则等于-（ D ） 6（) 数列中，且，则这个数列的前30项的绝对值之和为-（ B ）A495 B765 C3105 D1207（) 设，则（N*）的值为-（ B ） （A）0 （B）3 （C）4 （D）随的变化而变化8（）将自然数1，2，3，n，按第k组含k个数的规则分组：（1），（2，3），（4，5，6），那么1996所在的组是-（ B ）A.第62组B.第63组 C.第64组 D.第65组9（) a、bR，且|a|1,|b|1，则无穷数列：1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,(1+b+b2+bn1)an1的和为-（ D ）A. B. C. D.10（）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（C）A55 B70C85D10011（）若数列的前项的和 ，则 12（）依次写出数a1=1，a2，a3，法则如下：如果an-2为自然数且未写出过，则写，否则就写，那么 6 13（）设数列an是首项为1的正项数列，且(n+1)+an+1.an=0，(n=1，2，3，)，则它的通项公式为。 14（）在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=.15（）对正整数n，设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是2n+1-2。 16（）用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵.对第行，记，.例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=_-1080_.17（）根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）；（2）；（3）解：（1），（2）， =又解：由题意，对一切自然数成立，（3）是首项为公比为的等比数列，说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法； （2）若数列满足，则数列是公比为的等比数列18（）数列的前项和为，已知写出与的递推关系式，并求关于的表达式；设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，相加得：，又，所以，当时，也成立。由，得。而，19（）设Sn为数列an的前项的和，且Sn = (an 1)(nN*)， 数列bn 的通项公式bn = 4n+5. 求证：数列an 是等比数列； 若da1 ，a2 ，a3 ，b1 ，b2 ，b3 ，则称d为数列an 和bn 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn ，求数列dn 的通项公式.解：当n=1时，由a1=S1=，得出a1=3.当n2时， 由an=3n，得： 因此dn=99n1、=9n. 20（）已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点令，求证：