第二轮等差数列和等比数列

2009-2010年高考二轮复习专题数列等差数列、等比数列的运算和性质一、知识点梳理1.等差数列（1）定义：an+1an=d(常数d为公差)；（2）通项公式：an=a1+(n1)d（3）前n项和公式：Sn=na1+d（4）通项公式推广：an=am+(nm)d2.等差数列an的一些性质（1）对于任意正整数n，都有an+1an=a2a1（2）an的通项公式：an=（a2a1）n+(2a1a2)（3）对于任意正整数p,q,r,s,如果p+q=r+s，则有ap+aq=ar+as（4）对于任意正整数p,q,r,如果p+r=2q,则有ap+ar=2aq（5）对于任意正整数n1，有2an=an1+an+1（6）对于任意非零实数b，若数列ban是等差数列，则数列an也是等差数列（7）已知数列bn是等差数列，则anbn也是等差数列（8）a2n，a2n1，a3n，a3n1，a3n2等都是等差数列（9）S3m=3（S2mSm）； （10）若Sn=Sm(mn)，则Sm+n=0（11）若Sp=q,Sq=p，则Sp+q=(p+q)(pq)； （12）Sn=an2+bn，反之亦成立3.等比数列定义：=q(常数q为公比)；通项公式：an=a1qn1前n项和公式Sn=，特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况。通项公式推广：an=amqnm4.等比数列an的一些性质（1）对于任意正整数n，均有=（2）对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p+q=r+s，则apaq=aras（3）对于任意正整数p、q、r，如果p+r=2q，则apar=aq2（4）对任意正整数n1，有an2=an1an+1（5）对于任意非零实数b,ban也是等比数列（6）如果an0，则logaan是等差数列（7）数列logaan成等差数列，则an成等比数列（8）a2n，a2n1，a3n1，a3n2，a3n等都是等比数列 二、例题选讲1(）三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成等比数列，则原等差数列的公差一定是-（ C ）A.8B.8或15C. 8D.152（）首项为24的等差数列，从第10项开始为正，则公差的取值范围是-（ D ）（A） （B） （C） （D）3 3（）（B） （A）8 （B）9 （C）10 （D）114（) 已知的前项和，则的值为-（ A ）（A）67 （B）65 （C）61 （D）565（）等差数列an中，a100，且|a10|2，故a22，得an2，所以an单调递减。且因为an2，所以an2=2(an12)()2(an22)0B. anan+1an+20C. anan+20D. anan+2an+402（）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“ 为等差数列”的-( B ) A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3（）给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q成等比数列，p,b,c,q成等差数列, 则一元二次程bx22ax+c=0-（ A ） A无实数根 B有两个相等的实数根C有两个同号的相异的实数根 D有两个异号的相异的实数根4（) 一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于-（ C ） A5 B6 C7 D85（）等比数列的前n项和，则k的值是-（ B ） A全体实数 B1 C1 D36（) 在等差数列an中，7a5 +5a9=0,且a9 a5,则使数列前n项和Sn取最小值的n等于-( B )A 5 B6 C7 D87（) 正项等差数列a1，a2，an，（n4，且n为偶数）的公差d0，离首末两项“距离”相等的两项之积排成数列a1an，a2 an1，a3 an2，a a，则该数列是-（ B ） A单调递减 B单调递增 C奇数项单调递增，偶数项单调递减 D以上都不对8（）若四个正数a，b，c，d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的等比中项，则x和y的大小关系是-（ D ） AxyCx=yDxy9（) 等差数列的公差d不为0，Sn是其前n项和，则下列命题错误的是（ D ）A若d0，则Sn中一定有最小的项 D存在kN+，使和同号10（）已知数列的前n项和其中a、b是非零常数，则存在数列、使得-（ C ）A为等差数列，为等比数列 B和都为等差数列 C为等差数列，都为等比数列 D和都为等比数列11（）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项12（）已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_2_.13（）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 14（）已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0logm(ab)1,则m的取值范围是_(,8)_. 15（）已知数列是等比数列,且,，则 9 16（）设数列，（），N* 满足，则为等差数列是为等比数列的 充要 条件17（）设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m(1) 求证:是等比数列;(2) 若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.解（1）由是等比数列。（2）18（）如图，在y轴的正半轴上依次有点其中点，且，在射线上依次有点点的坐标为（3，3），且 用含的式子表示；用含的式子表示的坐标；求四边形面积的最大值。解：（1），（2）由（1）得的坐标，是以 为首项， 为公差的等差数列（3）连接，设四边形的面积为，则单调递减.的最大值为.说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知为等比，为等差，（3）利用函数单调性求最值。 19（）设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法一：设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有化简得.设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可见，当n=时，Sn最大.而=5,故lgan的前5项和最大.解法二：接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=5.5.20（）已知数列a是公差d0的等差数列，其前n项和为S求证：点在同一条直线上；(2)过点Q(1，a)，Q(2，a)作直线12，设l与l的夹角为，求证： 证明：(1)因为等差数列a的公差d0，所以， 当k2（kN）时，（d是常数），即 Kpp是常数(k=2，3，n)所以P2，P3，Pn都在过点P1（1，a）且斜率为常数的直线上。(2)直线l的方程为y-a=d(x-1)，直线l的斜率为d当且仅当即时