高一数学寒假平面的基本性质、空间中的平行与垂直关系人教实验B

高一数学寒假专题 平面的基本性质、空间中的平行与垂直关系一. 本周教学内容： 寒假专题 平面的基本性质、空间中的平行与垂直关系二. 教学目的掌握平面的基本性质、空间中的平行与垂直关系相关知识，并能利用这些性质和判定方法对某些结论进行论证以及解决一些空间几何体中的一些计算，进而培养和发展空间想象能力、推理论证能力、运用语言进行交流的能力。三. 教学重点、难点利用平面的基本性质、空间中的平行与垂直关系相关知识对某些结论进行论证以及解决一些空间几何体中的一些计算问题。四. 知识分析1、平面的基本性质及推论，是立体几何的基本理论基础，必须彻底理解并牢固掌握。几种常见题型的解法： （1）证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内。（2）证明直线共面的方法：先证明其中两条直线确定一个平面，再证明其余直线都在这个平面内。（3）证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点。2、重视立体几何中的三种语言：文字语言、符号语言、图形语言及这三种语言之间的相互转化。例：教材中公理 1 的叙述方式为文字语言；而“点，”是公理 1 的符号语言；下图是公理 1 的图形语言。3、线线平行证明线线平行的方法有四种：（1）公理 4 ；（2）线面平行的性质定理； （3）面面平行的性质定理； （4）线面垂直的性质定理注意：应用线面平行，面面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助面，然后把已知中的线面或面面平行转化为线线平行，这些在后面的例题中均有分析。4、线面平行应该搞清线面平行判定定理中的条件与结论。【例】 下列命题： 直线平行于平面内的无数条直线，则/ ； 若直线 a 在平面外，则 a /； 若直线 a / b , b ，则 a /； 若直线 a / b , b，那么直线 a 就平行于平面内的无数条直线其中真命题的个数为（ ）（A） 1 个 （B） 2 个 （C） 3 个 （D） 4 个【解析】对于 ，因为直线虽与平面内无数直线平行，但有可能在平面内，所以不一定平行于，所以 是假命题。对于 ，因为直线 a 在平面 外，包括两种情况： a / 或 a 与 相交，所以 a 和不一定平行，所以 是假命题。对于 ，因为直线 a / b，b，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面 内，所以 a 不一定平行于，所以 是假命题对于 ，因为 a / b , b，所以a或 a / ，所以 a 可能与平面内的无数条直线平行，所以 是真命题。综上，真命题的个数为 1 个，所以应选 A 。【反思】（l）判定定理中的线线平行得线面平行，其中线线平行是指平面外的一条直线和平面内的一条直线平行。（2）线面平行的判定方法严格来说只有判定定理（定义一般不用）。5、面面平行 （1）判定方法：判定定理及推论。注意：两个平面平行问题的判定，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面。（2）在应用定理或推论证明题时，所有的条件必须齐备，缺一不可如平面和平面平行的判定定理需五个条件，用符号语言表示为：6、线面垂直（1）注意直线和平面垂直的定义中的“任意一条直线”这个关键词语，它与“所有直线”是同义语，但与“无数条直线”不同，定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直由线面垂直的定义可以得到两个作图的依据：过一点有且只有一条直线与一个已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与一条已知直线垂直。（2）直线和平面垂直的判定定理中的关键词语是“两条相交直线”，应用此定理时，主要是设法在平面内找到两条相交直线。（3）判定线面垂直的方法主要有三种： 利用定义； 利用判定定理（垂直于两相交直线）； 与平行关系联合运用，即【例】在正方体 ABCD一A1BlC1D1 中， E 是 BB1的中点, O是底面正方形 ABCD 的中心，求证：OE平面 ACD1【解析】如下图，连结 B1D、A1 D 、BD ，在 B1BD 中因为 E、O 分别是 B1B 和 DB 的中点，所以 EO / B1D因为 B1A1面AA1D1ID 所以 DA1 为 DB1 在面 AA1D1D 内的射影又因为 AD1 A1D ，所以AD1 DB1 同理可证， B1D D1C 又因为AD1CD1D1，AD1、D1C面ACD1所以 B1D 平面 ACD1因为 B1D / EO ，所以 EO平面 ACD1（4）利用线面垂直的性质可以证明两线垂直和两线平行，也可实现面面垂直的证明，因此线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，其转化方向是：7、面面垂直（1）面面垂直的判定方法：定义、判定定理。需要注意的是：在面面垂直的判定定理中，垂线必须在一平面内。（2）面面垂直的性质定理给出了作面的垂线的一种方法，其思路是：先确定面面垂直，然后在一面内作交线的垂线，则得面的垂线这一思路在求距离时应用较广泛，在垂直转化中也常用到，在解题时要注意灵活使用注意：在面内且垂直于交线的直线才垂直于平面，而在面内垂直于其他直线则不一定垂直于平面。【典型例题】例1. 求证：两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面。已知：求证：直线 共面，【解析】因为，由推论 3 可知直线a与b确定一个平面，设为 因为 ，所以则而，所以由公理1可知因为，由推论3可知直线 b 与c 确定一个平面，设为，同理可知因为平面和平面都包含直线 b 与 l ，且 B 所以由推论 2 可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合所以直线 共面【点评】（1）分别由某些直线（相交直线或平行直线）确定出平面，然后证明这几个平面重合（由公理 3 及其三个推论），也是一种行之有效的证明线共面问题的方法。（2）解决线共面问题的基本方法是：先由两个推论确定出平面，然后再由公理 1 证明其余的线也在该平面内；或由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另一个平面，再证明这两个平面重合。例2. ABC 在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P、Q、R，求证P、Q、R三点共线。【解析】因为 AB P , AB面 ABC 所以P又，所以P在平面ABC与平面的交线上同理可证明 Q 和 R 均在这条交线上所以P、 Q 、 R 三点共线【点评】证明点共线，可先由两点定一条直线，再证其他的点也在这条直线上，也可以证明所有的点都在一条特定的直线（如两个平面的交线）上实际上此类题关键是证这些点是某两个平面的公共点，这些点当然在两平面的交线上。例3. 如图ABCD与BAFE是两个全等的正方形，点M在AC上，点N在FB上，AMFN，求证：MN / 平面BCE。【解析】过M作MP / AD交AB于P，连接PN，则又因为正方形ABCD与正方形ABEF全等，所以ACBF所以AMFN，所以MCNB, 所以所以PN / AF, 所以PN / BE因为PM平面BCE，BC平面BCE所以PM / 平面BCE同理PN / 平面BCE，又因为PM平面MNP，PN平面MNP所以平面MNP / 平面BCE所以MN / 平面BCE【点评】（1）本题是“两个平面平行，则一个平面内的所有直线都与另一个平面平行”的重要应用，也是判断直线与平面平行的重要方法。（2）本题也可用其他方法证明，如过M作MGGB于G，NHBE于H，证明四边形MGHN为平行四边形，从而证MN / 平面BCE。例4. 在正方体 A BCD一A1B1C1D1中，M、N、E、F 分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1 的中点，求证：平面AMN / 平面EFDB【解析】连结MF因为M、F是的中点，四边形为正方形所以又，所以所以四边形AMFD是平行四边形所以AMDF因为平面EFDB，平面EFDB所以AM平面EFDB同理，AN平面EFDB又平面AMN，所以平面AMN平面EFDB【点评】（1）在使用判定定理时，条件要全，步骤要规范。（2）要证面面平行，只需证线面平行。例5. 在三棱锥 SABC 中，ASBBSC60，ASC90，且 SA SB SC ，求证：平面 ASC 平面ABC。【解析】过 S 作 SO平面 ABC ，O为垂足因为 SA SB SC ，所以 S 在平面内的射影 O 为 ABC 的外心设 SASB SC a ，因为ASBBSC600，所以 AB BC a 又ASC 90，所以 ACa 在 ABC中，AC2AB2+BC2, 所以 ABBC ，即ABC为直角三角形所以 O 在斜边 AC 上又因为平面SAC 经过SO ，所以平面 SAC平面 ABC 例6. 如图，已知直三棱柱中，ACB90，BAC30，BC1，M是的中点，求证：。证明：连结，延长到N，使连结，则在中，所以，故，所以在直三棱柱中，所以平面平面所以所以平面又平面，所以 1. 下列命题正确的是（ ）A. 如果直线a垂直于平面内的无数条直线，则B. 如果直线a平行于平面内的无数条直线，则C. 过空间一点有且只有一条直线平行于已知平面D. 过空间一点有且只有一条直线垂直于已知平面 2. 已知直线平面，下面判断正确的是（ ）（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则A. （1）（2）（3）B. （2）（3）（4）C. （1）（3）（4）D. （1）（2）（4） 3. 如果直线a平面，那么直线a与平面内的（ ）A. 一条直线不相交B. 两条相交直线不相交C. 无数条直线不相交D. 任意一条直线都不相交 4. 是平面、外的一直线，则与的位置关系是（ ）A. 与都相交B. 只与之一平行C. D. 其他情况 5. 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD上的点，若AE：EBAF：FD1：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则（ ）A. BD平面EFG，且EFGH是矩形B. EF平面BCD，且EFGH是梯形C. HG平面ABD，且EFGH是菱形D. EH平面ADC，且EFGH是平行四边形 6. 下列命题中不正确的有（ ）（1）如果平面平面直线a，直线，且b与a没有公共点，则；（2）一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；（3）如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线必平行。A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 7. 直线垂直于平面内的两条直线，则与的关系是（ ）A. 垂直B. 平行C. 相交D. 前三者都有可能 8. 已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，且A、B、C在同一平面内，P在平面ABC外，PH面ABC于点H，则H是ABC的（ ）A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心 9. 已知，则点P与直线的位置关系用相应的符号表示为_。 10. 直线，直线，点，点，点，点，若直线直线FGM，则点M在_。 11. 在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_。 12. 设、表示平面，是、外的一条直线，给出三个论断：（1）；（2）；（3）。以其中两个为条件，另一个为结论可以构成三个命题，请写出其中的两个真命题_。 13. 如图所示，是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。求证：平面 14. 如图所示，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证：APGH 15. 如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F。（1）求证：AFSC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AGSD。参考答案 1. D2. B3. D4. C 5.