（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习第九章平面解析几何2第2讲两直线的位置关系教学案.docx

第2讲两直线的位置关系1两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线的位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1k2k1与k2都不存在垂直k1k21k1与k2一个为零、另一个不存在2.两直线的交点3三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|点线距点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d线线距两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d4.几种常见的直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.(3)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修2P110B组T2改编)已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a_解析：由题意得1.解得a1或a1.因为a0，所以a1.答案：12(必修2P101A组T10改编)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_解析：由题意知1，所以m42m，所以m1.答案：1易错纠偏(1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况；(2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况；(3)求两平行线间的距离，忽视x，y的系数应对应相同1直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m_解析：直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.答案：2或32若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.答案：0或13直线2x2y10，xy20之间的距离是_解析：先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.答案：两条直线平行与垂直 (2020金丽衢十二校高三联考)设两直线l1：(3m)x4y53m与l2：2x(5m)y8，则“l1l2”是“m1”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若l1l2，则(3m)(5m)42m1或7，经检验，当m1时，l1与l2重合，所以m7，故是充分不必要条件，故选A.【答案】A由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)已知直线4xmy60与直线5x2yn0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为()A7B9C11 D7解析：选A.由直线4xmy60与直线5x2yn0垂直得，202m0，m10.直线4x10y60过点(t，1)，所以4t1060，t1.点(1，1)又在直线5x2yn0上，所以52n0，n7.距离公式(高频考点)距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离在高考中经常出现，试题难度不大主要命题角度有：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)距离公式的综合应用角度一求距离 已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为_【解析】依题意，a2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(2y，y)，故，则A(4，8)、B(4，2)，所以|AB|10.【答案】10角度二已知距离求参数值 (1)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是()A10，10 B10，5C5，5 D0，10(2)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_【解析】(1)由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0，10(2)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，因此c2或6.【答案】(1)D(2)2或6角度三距离公式的综合应用 (1)P点在直线3xy50上，且P点到直线xy10的距离为，则P点的坐标为()A(1，2)B(2，1)C(1，2)或(2，1)D(2，1)或(1，2)(2)在ABC中，A(1，1)，B(m，)(1m4)，C(4，2)，则当ABC的面积最大时，m_【解析】(1)设P点坐标为(x，53x)，则P点到直线xy10的距离d，所以|2x3|1，所以x1或x2.所以P点坐标为(1，2)或(2，1)(2)由两点间距离公式可得|AC|，直线AC的方程为x3y20，所以点B到直线AC的距离d，所以ABC的面积S|AC|d|m32|，又1m4，所以12，所以当，即m时，S取得最大值【答案】(1)C(2)距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式(2)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式 1已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3C2 D1解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是xy20，|AB|2.由于ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程2h2，即h.由点到直线的距离公式得，即|tt22|2，即t2t22或者t2t22.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个2与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_解析：l2：6x4y30化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则：|c6|c|，解得c，所以l的方程为12x8y150.答案：12x8y150对称问题 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程【解】(1)设A(x，y)，由已知解得所以A.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4，3)又因为m经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90. 1与直线AxByC0(A，B0)关于y轴对称的直线的方程为()AAxByC0 BAxByC0CAxByC0 DBxAyC0解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(x，y)，将直线AxByC0(A，B0)中的x用x代换得AxByC0，即AxByC0，故选A.2如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是_解析：直线AB的方程为xy4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|2.答案：2思想方法系列6妙用直线系求直线方程 求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程【解】法一：将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1，2)由题意得直线l3的斜率为，又直线ll3，所以直线l的斜率为，则直线l的方程是y2(x1)，即5x3y10.法二：由于ll3，所以可设直线l的方程是5x3yc0，将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(1，2)，则点(1，2)在直线l上，所以5(1)32c0，解得c1，所以直线l的方程为5x3y10.法三：设直线l的方程为3x2y1(5x2y1)0，整理得(35)x(22)y(1)0.由于ll3，所以3(35)5(22)0，解得，所以直线l的方程为5x3y10.(1)本题中的法二、法三均是利用直线系设出直线l的方程，而法三是利用相交直线系设出方程，避免了求直线l1与l2的交点坐标，方便简捷，是最优解法(2)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20) 直线l1：xy40与l2：xy20的交点为P，直线l：2xy10.(1)过P与l平行的直线方程为_；(2)过P与l垂直的直线方程为_解析：由得所以l1与l2的交点为(1，3)(1)设直线方程为2xyc0，则23c0，所以c1，所以所求直线方程为2xy10.(2)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，所以c7，所以所求直线方程为x2y70.答案：(1)2xy10(2)x2y70基础题组练1(2020富阳市场口中学高三质检)已知直线l1：xay10与直线l2：yx2垂直，则a的值是()A2B2C. D解析：选C.因为直线l2的斜率为，直线l1：xay10与直线l2：yx2垂直，所以直线l1的斜率等于2，即2，所以a，故选C.2(2020金华十校联考)“C5”是“点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3等价于3，解得C5或C25，所以“C5”是“点(2，1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.3(2020义乌模拟)直线x2y10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：选D.由题意得直线x2y10与直线x1的交点坐标为(1，1)又直线x2y10上的点(1，0)关于直线x1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得，即x2y30.4已知点A(1，2)，B(3，4)，P是x轴上一点，且|PA|PB|，则PAB的面积为()A15 B.C6 D.解析：选D.设AB的中点坐标为M(1，3)，kAB，所以AB的中垂线方程为y32(x1)即2xy50.令y0，则x，即P点的坐标为，|AB|2.P到AB的距离为|PM|.所以SPAB|AB|PM|2.5已知点P(x0，y0)是直线l：AxByC0外一点，则方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A过点P且与l垂直的直线B过点P且与l平行的直线C不过点P且与l垂直的直线D不过点P且与l平行的直线解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线AxByC0上，所以Ax0By0C0，所以直线AxByC(Ax0By0C)0不经过点P，排除A、B；又直线AxByC(Ax0By0C)0与直线l：AxByC0平行，排除C，故选D.6两条平行线l1，l2分别过点P(1，2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A(5，) B(0，5C(，) D(0， 解析：选D.当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0， 故选D.7已知坐标平面内两点A(x，x)和B，那么这两点之间距离的最小值是_解析：由题意可得两点间的距离d，即最小值为.答案：8直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1，0)对称，则b_解析：在直线x2y30上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，则P1、P2关于点A的对称点P1、P2都在直线ax4yb0上因为易知P1(1，1)、P2(1，0)，所以所以b2.答案：29(2020瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则mn_解析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y2x3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m，n)的连线，于是解得所以mn.答案：10(2020浙江新高考冲刺卷)已知mR，若点M(x，y)为直线l1：myx和l2：mxym3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|MB|的最大值为_解析：动直线l1：myx过定点A(0，0)，动直线l2：mxym3化为m(x1)(y3)0，得x1，y3，过定点B(1，3)因为此两条直线互相垂直，所以|MA|2|BM|2|AB|210，所以102|MA|MB|，所以|MA|BM|5，当且仅当|MA|MB|时取等号答案：511已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a2，因为a20，所以b0.又因为a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6，0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0，显然a0，所以aba，|ab|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.12已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，所以3，解得或2.所以直线l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)所以dmax|PA|.综合题组练1(2020温州八校联考)已知M，N(x，y)|ax2ya0，且MN，则a()A6或2 B6C2或6 D2解析：选A.集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3xy30，集合N表示恒过定点B(1，0)的直线ax2ya0，因为MN，所以两直线要么平行，要么直线ax2ya0与直线3xy30相交于点A(2，3)因此3或2a6a0，即a6或a2.2设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.， B.，C.， D.，解析：选A.由题意知a，b是方程x2xc0的两个实根，所以abc，ab1.又直线xya0，xyb0的距离d，所以d22c，而0c，所以22c20，得2c，所以d.3(2020浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是_解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：yk(x3)5b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb.所以b34kb，解得k.所以直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，所以6bm(4m)b，解得b.所以直线l的方程是yx，即6x8y10.答案：6x8y104(2020宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离结合上述观点，可得f(x)的最小值为_解析：因为f(x)，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(2，4)与B(1，3)的距离之和，设点A(2，4)关于x轴的对称点为A，则A为(2，4)要求f(x)的最小值，可转化为|MA|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|MB|AB|5，即f(x)的最小值为5.答案：55设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(