高中数学第3章数学归纳法与贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式讲义.docx

3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明贝努利不等式学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用教材整理2贝努利不等式1定理1(贝努利不等式)设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n1nx.2定理2(选学)设为有理数，x1，(1)如果01，则(1x)1x；(2)如果1，则(1x)1x.当且仅当x0时等号成立事实上，当是实数时，也是成立的设nN，则2n与n的大小关系是()A2nnB2nn，即2nn.答案A数学归纳法证明不等式【例1】已知Sn1(n1，nN)，求证：S2n1(n2，nN)精彩点拨求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n1)，首先验证n2，然后证明归纳递推自主解答(1)当n2时，S2211，即n2时命题成立(2)假设nk(k2，kN)时命题成立，即S2k11.当nk1时，S2k111111.故当nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对nN，n2，S2n1都成立此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项之和，实际上 2k1到2k1是自然数递增，项数为2k1(2k1)12k.1若在本例中，条件变为“设f(n)1(nN)，由f(1)1， f(3)1，f(7)，f(15)2，” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明解数列1,3,7,15，通项公式为an2n1，数列，1，2，通项公式为an，猜想：f(2n1).下面用数学归纳法证明：当n1时，f(211)f(1)1，不等式成立假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f(2k1)，则f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).当nk1时不等式也成立据知对任何nN原不等式均成立.利用数学归纳法比较大小【例2】设Pn(1x)n，Qn1nxx2，nN，x(1，)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明精彩点拨本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特殊值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明自主解答(1)当n1,2时，PnQn.(2)当n3时，(以下再对x进行分类)若x(0，)，显然有PnQn.若x0，则PnQn.若x(1,0)，则P3Q3x30，所以P3Q3.P4Q44x3x4x3(4x)0，所以P4Q4.假设PkQk(k3)，则Pk1(1x)Pk(1x)QkQkxQk1kxxkx21(k1)xx2x3Qk1x3Qk1，即当nk1时，不等式成立所以当n3，且x(1,0)时，PnQn.1利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立2本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用2已知数列an，bn与函数f(x)，g(x)，xR，满足条件：b1b，anf(bn)g(bn1)(nN)，若函数yf(x)为R上的增函数，g(x)f1(x)，b1，f(1)1，证明：对任意xN，an1an.证明因为g(x)f1(x)，所以ang(bn1)f1(bn1)，即bn1f(an)下面用数学归纳法证明an1an(nN)(1)当n1时，由f(x)为增函数，且f(1)1，得a1f(b1)f(1)1，b2f(a1)f(1)1，a2f(b2)f(1)a1，即a2a1，结论成立(2)假设nk时结论成立，即ak1ak.由f(x)为增函数，得f(ak1)f(ak)，即bk2bk1.进而得f(bk2)f(bk1)，即ak2ak1.这就是说当nk1时，结论也成立根据(1)和(2)可知，对任意的nN，an1an.利用贝努利不等式证明不等式【例3】设n为正整数，记an，n1,2,3，.求证：an1an.精彩点拨用求商比较法证明an11，n1,2,3，.由于，因此，根据贝努利不等式，有1.anan1对于一切正整数n都成立本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立3设a为有理数，x1.如果0a1，证明：(1x)a1ax，当且仅当x0时等号成立证明0a1，令a，1mn2(nN)精彩点拨自主解答(1)当n1时，左边2124；右边1，左边右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3时，左边23210，右边329，所以左边右边因此当n1,2,3时，不等式成立(2)假设当nk(k3且kN)时，不等式成立，即2k2k2(kN)当nk1时，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)k22k1(k1)2.(因为k3，则k30，k10)所以2k12(k1)2，故当nk1时，原不等式也成立根据(1)(2)知，原不等式对于任何nN都成立1本例中，针对目标k22k1，由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，达到目标2利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累4设x1，且x0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1x)n1nx.证明(1)当n2时，由x0，知(1x)212xx212x，因此n2时命题成立(2)假设nk(k2为正整数)时命题成立，即(1x)k1kx，则当nk1时，(1x)k1(1x)k(1x)(1kx)(1x)1xkxkx21(k1)x.即nk1时，命题也成立由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探索、猜想、证明探究问题2利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么？提示利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时【例5】若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论精彩点拨先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便自主解答当n1时，则，a.(1)n1时，已证(2)假设当nk时(k1，kN)，当nk1时，.，0，也成立由(1)(2)可知，对一切nN，都有，a的最大值为25.1不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明2本题中从nk到nk1时，左边添加项是，这一点必须清楚5设an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论解假设g(n)存在，那么当n2时，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；当n3时，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，当n4时，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用数学归纳法证明：当n2，nN时，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)当n2时，a11，g(2)(a21)21，结论成立(2)假设当nk(k2，kN)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么当nk1时，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，说明当nk1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立1用数学归纳法证不等式：1成立，起始值至少取()A7B8C9D10解析左边等比数列求和Sn2，即1，n7，n取8，选B.答案B2用数学归纳法证明2nn2(n5，nN)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A假设nk时命题成立B假设nk(kN)时命题成立C假设nk(k5)时命题成立D假设nk(k5)时命题成立解析由题意知n5，nN，故应假设nk(k5)时命题成立答案C3用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了两项，但减少了一项D以上各种情况均不对解析nk