高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和知能训练轻松闯关理.docx

第2讲 等差数列及其前n项和1若等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a14，则公差d等于()A1B1C2 D3解析：选C.由题意可得S33a13d123d6，解得d2，故选C.2已知等差数列an，且3(a3a5)2(a7a10a13)48，则数列an的前13项之和为()A24 B39C104 D52解析：选D.因为an是等差数列，所以3(a3a5)2(a7a10a13)6a46a1048，所以a4a108，其前13项的和为52，故选D.3(2016新余质检)在等差数列an中，a9a126，则数列an的前11项和S11()A24 B48C66 D132解析：选D.数列an是等差数列，故a63d(a66d)6，所以a612.又S1111a6，所以S11132.4(2016淮北、淮南模拟)如果等差数列an中，a111，2，则S11()A11 B10C11 D10解析：选A.由Snna1d，得a1d，由2，得a1d2，解得d2，a1d11521，所以S1111.5(2016江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列an中1，它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取得最小正值时，n()A17 B18C19 D20解析：选A.由题意知，a10，d0，因为1，所以a10a90，即2a117d.所以S180，S17(a18d)170.故选A.6已知Sn是等差数列an的前n项和，S100并且S110，若SnSk对nN*恒成立，则正整数k构成的集合为()A5 B6C5，6 D7解析：选C.在等差数列an中，由S100，S110，得S100a1a100a5a60，S110a1a112a60，故可知等差数列an是递减数列且a60，所以S5S6Sn，其中nN*，所以k5或6.7(2016淮北质检)设Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_解析：由题意知解得所以a5a4d1 (2)1.答案：18(2016驻马店调研)若数列an满足a115，且3an13an4，则an_解析：由3an13an4，得an1an，所以an是等差数列，首项a115，公差d，所以an15(n1).答案：9(2016东北三校联考)已知正项数列an满足a12，a21，且2，则a12_解析：因为2，所以，所以为等差数列，且首项为，公差为，所以(n1)，所以an，所以a12.答案：10已知数列an是首项为a，公差为1的等差数列，bn，若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围为_解析：依题意得bn1，对任意的nN*，都有bnb8，即数列bn的最小项是第8项，于是有.又数列an是公差为1的等差数列，因此有即由此解得8a7，即实数a的取值范围是(8，7)答案：(8，7)11(2016无锡质检)已知数列an的前n项和Sn是n的二次函数，且a12，a22，S36.(1)求Sn；(2)证明：数列an是等差数列解：(1)设SnAn2BnC(A0)，则解得A2，B4，C0，故Sn2n24n.(2)证明：当n1时，a1S12；当n2时，anSnSn12n24n2(n1)24(n1)4n6，a12也满足故an4n6(nN*)因为an1an4，所以数列an成等差数列12各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN*)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1， a2的值(2)求数列an的通项公式解：(1)当n1时，a4S12a11，即(a11)20，解得a11.当n2时，a4S22a214a12a2132a2，解得a23或a21(舍去)(2)a4Sn2an1，a4Sn12an11.得aa4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)因为数列an各项均为正数，所以an1an0，an1an2，所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列所以an2n1.1(2016唐山统考)若等差数列an的公差为d，关于x的不等式x2xc0的解集为0，22，则使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是()A9 B10C11 D12解析：选C.法一：因为关于x的不等式x2xc0的解集为0，22，所以c0，22，且0，即a1d0，则Snn2nn211dn，所以在对称轴n11处，Sn取得最大值法二：因为关于x的不等式x2xc0的解集为0，22，所以c0，22，且0，即a1d0，则a11a110d0，a12a111d0，故使数列an的前n项和Sn最大的正整数n的值是11.2(2016河北省衡水中学模拟)有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k1，2，3，n，n3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，ann成等差数列若dmp1d1p2d2(3mn，p1，p2是m的多项式)，则p1p2_解析：由题意知amn1(n1)dm，则a2na1n1(n1)d21(n1)d1(n1)(d2d1)，同理，a3na2n(n1)(d3d2)，a4na3n(n1)(d4d3)，anna(n1)n(n1)(dndn1)又因为a1n，a2n，a3n，ann成等差数列，所以a2na1na3na2nanna(n1)n，故d2d1d3d2dndn1，即dn是公差为d2d1的等差数列，所以dmd1(m1)(d2d1)(2m)d1(m1)d2.令p12m，p2m1，则dmp1d1p2d2，此时p1p21.答案：13(2016宿州模拟)已知函数f(x)x22(n1)xn25n7(nN*)(1)设函数yf(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；(2)设函数yf(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列bn，求bn的前n项和Sn.解：(1)证明：因为f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，所以an3n8，因为an1an3(n1)8(3n8)3，所以数列an为等差数列(2)由题意知，bn|an|3n8|，所以当1n2时，bn83n，Snb1bn；当n3时，bn3n8，Snb1b2b3bn521(3n8)7.所以Sn4设数列an的前n项和为Sn，a110，an19Sn10.(1)求证：lg an是等差数列；(2)设Tn是数列的前n项和，求Tn；(3)在(2)的条件下，求使Tn(m25m)对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合解：(1)证明：依题意，a29a110100，故10.当n2时，an19Sn10，an9Sn110，两式相减得an1an9an，即an110an，10，故an为