高三数学一轮空间几何体的表面积与体积巩固与练习

巩固1如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为()A32 B16C12 D8解析：选C.由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和，即S2R2R23R212.2.已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB3，AOB120，则球的体积为()A. B4C36 D32解析：选B.AOB为等腰三角形，AOB120，AB3，通过解三角形解出OA和OB，即OAOBR，从而求出球的体积4，故选B.3(原创题)设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是()解析：选B.由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意故选B.4(2009年高考全国卷)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3，则球O的表面积等于_解析：由题意得圆M的半径r，设球的半径为R，又球心到圆M的距离为，由勾股定理得R2r2()2，R2，则球的表面积为42216，故填16.答案：165四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，则所得旋转体的体积为_解析：V圆锥r2h222，V圆台h(r2R2Rr)1(221221)，VV圆锥V圆台5.答案：56已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积解：因为EBBFFD1D1Ea，所以四棱锥A1EBFD1的底面是菱形，连结EF，则EFBEFD1，由于三棱锥A1EFB与三棱锥A1EFD1等底同高，所以VA1EBFD12VA1EFB2VFEBA12SEBA1aa3.练习1圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是()A. B2C. D.解析：选D.S1，S24，r1，R2，S6(rR)l，l2，h.V(142).2.如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是()A. B.C. D.解析：选B.由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可得高为，所以体积为V11.3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为()A. B2C3 D4解析：选B.由三视图可知几何体为一圆锥，其中圆锥底面半径为1，母线长为2，故其侧面积S(21)22(其侧面展开图为一扇形，扇形半径为2，弧长为圆锥底面圆周长)，故选B.4三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16，则该三棱锥的高的最大值为()A7 B7.5C8 D9解析：选C.设球的半径为R，R3，R5.设小圆半径为r，r216，r4.当三棱锥的高过球心O时，取得最大值，OO13，PO1538.故选C.5.(2009年高考陕西卷)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B.C. D.解析：选B.所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V11，故八面体体积V2V1.故选B.6把由曲线y|x|和y2围成的图形绕x轴旋转360，所得旋转体的体积为()A. B.C. D.解析：选D.由题意，y|x|和y2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥V圆柱22416，2V圆锥2222，所求几何体体积为16.7正三棱台高为12 cm，上、下底面面积之比为14，它的体积为28 cm3，则下底面面积为_解析：设下底面面积为S cm2，则上底面面积为S cm2，(SS )1228，S4.答案：4 cm28.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为. 解析：因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V122.答案：9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为.解析：设ACa，CC1b，则由(a2b2)2a2b2，得b22a2，又a26，a28，V848.答案：810已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的，求这个圆台的侧面积解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC4 cm，ASO30，O1COA，设O1Cr，则OA2r，又sin30，SC2r，SA4r，ACSASC2r4 (cm)，r2 cm.所以圆台的侧面积为S(r2r)424(cm2)11在底面直径和高均为2R的圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的体积最大？解：如图，作出圆锥的轴截面，设圆柱的高为h，底面半径为r(0rR)，体积为V，则，h2(Rr)，Vr2h2r2(Rr)2Rr22r3.V4Rr6r2，由V0得rR，当rR时，圆柱的体积V取得最大值，此时圆柱的高h2(RR)R.12.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积解：(1)直观图如图所示：(2)法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则AA1EB是正方形，AA1BE1.在RtBEB1中，BE1，EB11，BB1.几何体的表面积SS正方形AA1D1D2S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形ABCDS矩形A1B1C1D112(12)111127(m2)几何体的体积V