高三数学一轮基础导航6.2平面向量的基本定理及坐标运算

6.2平面向量的基本定理及坐标运算【考纲要求】1、了解平面向量的基本定理及其意义.2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【基础知识】1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标，规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。3.平面向量的坐标运算(1)设=,=，则=.(2)设=,=，则=. (3)设，,则.(4)设=，则=.(5)设=,=，则|（斜乘相减等于零）（6）设=则4、两个向量平行（共线）的充要条件（1）如果，则的充要条件是有且只有一个实数，使得（没有坐标背景）（2）如果=,=，则|的充要条件是(坐标背景)5、三点共线的充要条件（1）三点共线的充要条件是(2)设不共线，点三点共线的充要条件是,特别地，当时，是中点。6、温馨提示（1）向量的坐标表示体现了数形结合的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题，因此解题过程中应注意使用数形结合的思想方法。 （2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。【例题精讲】例1 如图所示，已知 中 ，M、N是AB、CD的中点，D是BC的中点，MN与AD交于F。求 。解： 又D是 的中点， 又M、N分别为AB、AC的中点，F为AD的中点， 例2 已知 ，当k为何值时， 与 平行？平地时它们是同向还是反向？解： ， 与 平行等价于 ，解得 。故 时， 与 平行。此时 ，所以 与 反向。 6.2平面向量的基本定理及坐标运算【基础精练】1已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是（ ）A(4，)B(4，)C(8,1) D(8,1)2已知M(3，2)，N(5，1)且，则P点的坐标为()A(8,1) B(1，)C(1，) D(8，1)3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A(2，) B(2，)C(3,2) D(1,3) 4已知向量a(1sin，1)，b(，1sin)，且ab，则锐角等于（ ）A30 B45C60 D755设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是()A2 B4C6 D86直角坐标系xOy中，(2,1)，(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是()A1 B2C 3 D47l1、l2是不共线向量，且al13l2，b4l12l2，c3l112l2，若b，c为一组基底，则a_.8已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.9若向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab且uv，则x_.10已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos，sin)(R)，实数m、n满足manbc，则(m3)2n2的最大值为_ 11(15分)设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且2imj，nij，5ij，若点A、B、C在同一条直线上，且m2n，求实数m、n的值12(15分)已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)(1)若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若点A、B、C构成以A为直角的直角三角形，求m的值【拓展提高】1设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tantan16，求证：ab.【基础精练参考答案】3.A【解析】设D(x，y)，(4,3)，(x，y2)，且2，解得 4.B【解析】由ab可得(1sin)(1sin)0，即cos，而是锐角，故45.5.D【解析】kAB，kAC，A、B、C三点共线，kABkAC，即.2ab1.4428.(等号成立的条件为b2a)的最小值是8.6.B【解析】若A90，则6k0，k6；若B90，则()0，k1；若C90，则()0k2k30无解综上，k可能取6，1两个数故选B.7. bc解析：设a1b2c，即l13l21(4l12l2)2(3l112l2)，即l13l2(4132)l1(21122)l2.解之，得1，2.8.5【解析】ac(3k，6)，b(1,3)，(ac)b，.k5.9. 【解析】u(1,2)2(x,1)(1,2)(2x,2)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2,4)(x,1)(2x,3)由uv，一定存在R，使uv，则有(2x1,4)(2x)，3)，(2x1)(2x)，解得x.也可由下面的方法求得：由uv，得(2x1)34(2x)0.x.10.16【解析】由manbc得m(1,1)n(1，1)(cos，sin)，m(sincos)，n(cossin)，(m3)2n2m2n26m9103(sincos)106sin()，(m3)2n2的最大值为16.11.【解析】(n2)i(1m)j，(5n)i(2)j，因为A、B、C共线，所以与共线，所以2(n2)(1m)(5n)