大学数学课后习题答案.doc

习题1 1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合 （2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的 （3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合3. ，4. （1） （2） （3）5. （1） （2） （3）6. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）7. 8. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 9. （1）； （2）；10. （1） （2）11. （1）不是定义域不同 （2）不是定义域不同 （3）不是定义域不同 （4）是在公共的定义域上，12. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）， （8）（9） （10）13（1）； ； 14. ； 15. ，16. ，有17. （1）单调递减 （2）上单调递增；上单调递减 （3）单调递减；上单调递增 （4）单调递增 （5）（）上单调递增； （6）单调递增18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数19. （1）对定义域内的任意，因为，所以是偶函数；（2）对定义域内的任意，因，所以是偶函数20. （1） （2） （3） （4）21. （1）因为，有成立，令，则有，又因为是内的奇函数，所以，所以，又，所以（2）因为是以2为周期的周期函数，所以，又已知，所以，由（1）知，所以22. （1）， （2），（3）， （4）， 23. （1） （2） （3） （4）（）24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是习题2 1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 02(1)3 (2)2 (3)0 (4) (5) 3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：4. 根据定义证明：(1) 当时为无穷小；证明：,当,(2) 当时为无穷大.证明：,当,5. 求下列极限：（1） 1 （2）06. 计算下列极限：（1） 0 （2）（3） （4）17. 计算下列极限：（1） 4 （2）（3） 2 （4）（5） （6）（7） -1 （8）8. 设，讨论函数在点时的极限情况？解：，所以在不存在极限。9. 已知，求，解：由已知可知：,得到,代入得，得10. 计算下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）11. 证明：数列存在极限。提示：12. 求极限。提示：13. 求。提示：14. 设（），已知常数且，证明提示：首先证明数列收敛 因为，所以（），则对任意的，有这说明数列有下界；又，即数列单调递减，从而数列收敛设，对等式两边同时取极限，得，解之得因为（），所以由保号性知，所以15. 求下列函数的间断点，并判断类型：（1） 第二类间断点 （2） 第二类间断点（3） 第一类间断点 （4） （4） 为可去间断点16. 讨论下列函数在分段点处的连续性：（1） 不连续（2） 不连续（3） 不连续（4） 连续17. 讨论函数在上的连续性。解：，所以在连续，又在连续，所以在连续。18.证明方程在1与2之间至少有一个实根。证明:令,则,为连续函数，由介值定理可得，在1到2之间至少有一个实根。19. 证明曲线在与之间与轴至少有一个交点。提示：介值定理20.设，证明：存在，使得成立。提示：，,介值定理21.已知函数在内连续，且、存在，证明：在有界。提示：令习题31. 用导数定义求下列函数的导数：（1） （2）答案：(1) （2）2. 已知某一物体的运动方程为，求该物体在到这段时间内的平均速度，并求出当分别取，时的平均速度及时的瞬时速度解：3. 讨论下列函数在处的可到性与连续性（1） （2）解：（1）（2）4. 讨论函数，在处的连续性与可导性解：5. 试确定常数，使函数，在处可导解：6. 求曲线在点处的切线方程和法线方程解：7. 求下列函数的导数：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）答案： 8. 求下列函数的导数：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）答案： 9. 求下列函数的高阶导数：（1） ，求（2） ，求（3） ，求（4） ，求答案：10. 求下列函数的微分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）答案：11. 计算下列各题的近似值：（1） （2）（3） （4）12. 设扇形的圆心角，半径，如果不变，减少，问扇形的面积约改变多少？如果不变，增加，问扇形的面积改变多少？习题41. 证明方程在0与1之间至少有一个实根.2. 不求导数，判断函数的导数有几个根，并确定其范围。答案：由于，故在，上满足罗尔中值定理的条件。因此，在内至少存在一点，使得；在内至少存在一点，使得。又是三次多项式，故为二次多项式，只能有两个实根，分别在区间和内。3. 证明方程在内不可能有两个不相等的实根。4. 设在内有二阶导数，且其中，证明：在内至少有一点，使得。5. 利用洛必答法则求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）6. 确定常数，使得。7. 讨论下列函数的单调性：（1） （2）答案：（1）函数的定义域为。因此，当时，；当时，。故函数在定义域上单调增加。（2）函数的定义域为。由，因为在内，所以函数在上单调增加；又因为在内，所以函数在上单调减小。8. 确定函数的增减区间.答案：函数的定义域为，求函数的导数，有解方程，得，。在区间内，因此函数在上单调增加；在区间内，因此函数在上单调减小；在区间内，因此函数在上单调增加。9. 证明不等式：。10. 求函数的单调区间与极值。答案：时，函数不可导；时，令，的驻点，则函数的单调区间与极值情况见表：增大减小增大11. 求函数极值点.12. 求函数在区间上的最大值、最小值.13. 设，求其单调区间、极值和最值.14. 用薄钢板做一体积为的无盖圆柱形桶，假定不计裁剪时的损耗，为了使得用去的材料最省，桶底直径与桶高的比例应为多少？习题51. 已知是的一个原函数，则下面表达式中哪一个是正确的？(A) (B) (C) (D) 答案：（B）是正确的2. 已知是的一个原函数，求答案：3. 求下列不定积分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） （11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）答案： 4. 估计积分值的范围答案：5. 已知是的一个原函数，求答案：6. 已知是的一个原函数，求不定积分答案：7. 求下列定积分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） （11） （12）（13） （14）答案：8. 证明：如果函数是奇函数，即，则答案：9. 假设，求常数答案：10. 设为连续函数，且， 求答案：11. 设在上有连续导数，且，求12. 计算定积分答案：13. 求广义积分：（1） （2）答案：（1）（2）14. 求由抛物线及直线所围平面图形的面积答案：习题61. 求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 2.求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 3.求下列微分方程满足约束条件的特解：(1) ；(2) 4.求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5.求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 6.求解下列初值问题：(1) (2) (3) 7.求解微分方程8.求微分方程的通解9.求微分方程的一个特解1. 求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 2.求下列微分方程的通解