高三数学一轮空间向量的应用随堂检测理新人教B

2011金版新学案高三数学一轮复习 空间向量的应用随堂检测 理 新人教B版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量是n(6，3,6)，则下列点P中在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)【解析】n(6，3,6)是平面的法向量，nM，在选项A中，M(1,4,1)，nM0.【答案】A2已知力F1i2j3k，F22i3jk，F33i4j5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1，2,1)移到点M2(3,1,2)，则合力所做的功为()A10 B12C14 D16【解析】FF1F2F3(1,2,3)(2,3，1)(3，4，5)(2,1,7)，(2,3,1)，F(2,1,7)(2,3,1)43714.【答案】C3已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A60 B90C45 D以上都不正确【解析】E是BB1的中点且AA12，ABBC1，AEA190，又在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，A1D1AE，AE平面A1ED1，故选B.【答案】B4若二面角l的大小为，直线m，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由二面角l的大小为，直线m，得m与所成的角的大小为，于是所在平面内的直线与m所成的角的最小值为，而最大值为.【答案】C5长方体ABCDA1B1C1D1中ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.【解析】建立坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，A(1,2,1)，cos，A.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.【答案】B6(2008年全国卷)已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A. B.C. D.【解析】如图令正四棱锥的棱长为2，则A(1，1,0)，D(1，1,0)，S(0,0，)，E，A，S(1，1，)，cosA，S，AE、SD所成的角的余弦值为，故选C.【答案】C二、填空题(每小题6分，共18分)7P是ABC所在平面外一点，若ABC与PBC都是边长为2的正三角形，PA，那么，二面角PBCA的大小是_【解析】取BC的中点D，连结PD、AD，ABC、PBC均为正三角形，PDBC，ADBC，PDA为二面角PBCA的平面角又PDAD，PA，PDA90.【答案】908正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_【解析】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则C(2a,0,0)，A，C(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cosC，n.C，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.【答案】309已知矩形ABCD中AB3，BCa，若PA平面AC，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是_【解析】以A点为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，如图所示设P(0,0，b)，D(0，a,0)，E(3，x,0)P(3，x，b)，D(3，xa,0)PD，PD0，9x(xa)0，即x2ax90.由题意可知方程有两个不同根，0，即a2490，a6.【答案】a6三、解答题(共46分)10(15分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点(1)求证：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面ADE.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，设平面AED的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n1D(x1，y1，z1)(2,0,0)0，n1D(x1，y1，z1)(2,2,1)0，2x10,2x12y1z10.令y11，得n1(0,1，2)，同理可得平面A1FD1的法向量n2(0,2,1)n1n20，n1n2，平面AED平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，设A(0,2,1)(0,2，)可得M(2,2，)，(0,2，2)，ADA1M，要使A1M平面ADE，只需A1MAE，(0,2，2)(0,2,1)520，解得.故当AA时，A1M平面ADE.11(15分)(2009年湖北卷)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SDADa，点E是SD上的点，且DEa(01)(1)求证：对任意的(0,1，都有ACBE；(2)若二面角CAED的大小为60，求的值【解析】以D为原点，D，D，D的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(0,0，a)，(1)证明：A(a，a,0)，B(a，a，a)，E(a,0，a)，E(0，a，a)AB(a，a,0)(a，a，a)a2a20a0，即对任意的(0,1，都有ACBE.(2)D(0，a,0)为平面ADE的一个法向量设平面ACE的一个法向量为n(x，y，z)，则nE，nE，即取z1，得n(，1)cos602|.由(0,1，解得.12(16分)如图，在三棱锥PABC中，PAPB，PAPB，ABBC，BAC30，平面PAB平面ABC.(1)求证：PA平面PBC；(2)求二面角PACB的余弦值；(3)求异面直线AB和PC所成角的余弦值【解析】(1)证明：作POAB于点O，平面PAB平面ABC，PO平面ABC.过点O作BC的平行线，交AC于点D.如图所示，以O为原点，直线OD，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系PAPB，APPB，AB2，POBOAO.ABBC，BAC30，BCABtan 302.O(0,0,0)，A(0，0)，B(0，0)，C(2，0)，P(0,0，)，D(1,0,0)P(0，)，B(2,0,0)，PB