高三上学期文科数学单元测试(3)导数及其应用(选修1-1第三章)

2010 届高考导航系列试题 高三上学期文科数学单元测试 3 新课标人教版新课标人教版 命题范围命题范围 导导数及其数及其应应用 用 选选修修 1 1 第三章 第三章 注意事项 1 本试题分为第 卷和第 卷两部分 满分 150 分 考试时间为 120 分钟 2 答第 卷前务必将自己的姓名 考号 考试科目涂写在答题卡上 考试结束 试 题和答题卡一并收回 3 第 卷每题选出答案后 都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 ABCD 涂黑 如需改动 必须先用橡皮擦干净 再改涂其它答案 第 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的 代号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 函数 y x 2cos x 在 0 上取得最大值时 x 的值为 2 A 0 B C D 6 3 2 2 函数的单调递减区间是 xxyln A B C D 1 e 1 e 0 1 e e 3 若函数的图象的顶点在第四象限 则函数的图象是 cbxxxf 2 x f 4 点 P 在曲线上移动 设点 P 处切线倾斜角为 则 的取值范围是 3 2 3 xxy A 0 B 0 2 2 4 3 C D 4 3 2 4 3 5 已知 m 为常数 在上有最大值 3 那么此函数在f xxxm 26 32 22 22 上的最小值为 A B C D 5 11 29 37 6 09 广东 函数的单调递增区间是 x exxf 3 A B 0 3 C 1 4 D 2 2 7 已知函数时 则 2 2 xxfxfxf且当满足 sin xxxf A B 3 2 1 fff 1 3 2 fff C D 1 2 3 fff 2 1 3 fff 8 设函数的导函数 则数列的前 n 项和axxxf m 12 xxf 1 Nn nf 是 A B C D 1 n n 1 2 n n 1 n n n n1 9 设 f x x3 ax2 5x 6 在区间 1 3 上为单调函数 则实数 a 的取值范围为 3 1 A B 3 5 C 3 D 555 10 函数 f x 在定义域 R 内可导 若 f x f 2 x 且当 x 1 时 x 1 0 设 a f 0 x f b f c f 3 则 2 1 A a b c B c a b C c b aD b c a 11 曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 1 3 yxx 4 1 3 A B C D 1 9 2 9 1 3 2 3 12 如图所示的是函数的大致图象 则等于 dcxbxxxf 23 2 2 2 1 xx A B 3 2 3 4 C D 3 8 3 16 第 卷 二 填空题 请把答案填在题中横线上 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 13 09 北京 设是偶函数 若曲线在点处的切线的斜率为 f x yf x 1 1 f 1 则该曲线在处的切线的斜率为 1 1 f 14 已知曲线交于点 P 过 P 点的两条切线与 x 轴分别交于 A B 两点 2 1 xy x y 与 则 ABP 的面积为 15 函数在定义域内可导 其图 yf x 3 3 2 象如图 记的导函数为 yf x yfx 则不等式的解集为 0fx 16 若函数 f x a 0 在 1 上的最大值为 则 a 的值为 ax x 2 3 3 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 个大题 共 74 分 17 12 分 已知函数 f x x3 2ax2 3x x R 3 2 1 若 a 1 点 P 为曲线 y f x 上的一个动点 求以点 P 为切点的切线斜率取最小值时 的切线方程 2 若函数 y f x 在 0 上为单调增函数 试求满足条件的最大整数 a 18 12 分 已知函数 a R 1 若在 1 e 上是增函数 xaxxfln 2 1 2 xf 求 a 的取值范围 2 若 a 1 a x e 证明 0 此时 f x 为增函数 x 1 时 0 f x 为减函数 所以 f 3 f 1 x f x f f 0 f 即 c a时 0 f x 单调减 3 22 22 2 ax xax xf 22 2 ax xa a x f 当 x0 f x 单调增 当 x 时 f x 0 即对任意的 x f x f x 0 恒有 0 2x2 4ax 3 0 8 分 x f x f a 而 当且仅当 x 时 等号成立 x x 4 32 2 2 x x4 3 2 x x4 3 2 6 2 6 所以 a 11 分 2 6 所求满足条件的 a 值为 1 12 分 18 解 1 且在 1 e 上是增函数 0 恒成立 x a xxf x a xxf 即 a 在 1 e 上恒成立 a 1 6 分 2 x 2 证明 当 a 1 时 x 1 e xxxfln 2 1 2 令 F x xf 2 3 2 xxxln 2 1 2 2 3 2 x F x 在 1 e 上是减函数 0 21 1 2 1 2 2 x xxx x x xxF F x F 1 x 1 e 时 12 分0 3 2 2 1 xf 2 3 2 x 19 解 的导数 xf1 x exf 令 解得 令 0 x f0 x0 x f 解得 2 分0 x 从而在内单调递减 在内单调递增 xf 0 0 所以 当时 取得最小值 5 分0 x xf1 II 因为不等式的解集为 P 且 axxf 02Pxx 所以 对任意的 不等式恒成立 6 分 2 0 xaxxf 由 得axxf x exa 1 当时 上述不等式显然成立 故只需考虑的情况 7 分0 x 2 0 x 将变形为 8 分 x exa 1 1 x e a x 令 则1 x e xg x 2 1 x ex xg x 令 解得 令 0 x g1 x 0g x 解得 10 分1x 从而在内单调递减 在内单调递增 g x 0 1 1 2 所以 当时 1x 取得最小值 从而 g x1e 所求实数的取值范围是 12 分a 1 e 20 解 1 当 a 1 时 2 分 1 2 2 xxexfexxxf xx 当010 10 0 xxxfxxf或时当时 f x 的单调递增区间为 0 1 单调递减区间为 0 1 4 分 2 6 分 2 2 22 xaxeaaxxeeaxxf xxx 令axxxf 20 0 或得 列表如下 x 0 0 0 2 a 2 a 2 a xf 0 0 xf 极小极大 由表可知 8 分 2 4 2 a eaafxf 极大 设 10 分0 3 4 2 2 aa eaageaag 3 4 32 2 2 2 a eagagag上是增函数在 不存在实数 a 使 f x 最大值为 3 12 分 21 解 1 依题意 令 得 xgxf 1 321 xx故 分或解得令 故 分 即故 有唯一实数解即依题意方程或 可得将切点坐标代入函数 的图象的切点为的图像与函数函数 4 3 5 1 0 3 5 1 3583 2 254 22 1 1 0 2 42 022 1 0 1 22 232 2 2 xxxF xxxxxF xxxxxxxF bb bxxxgxf bbxxf xgxf 列表如下 x 3 5 3 5 1 3 5 1 1 xF 0 0 xF 极大值 27 4 极小值 0 从上表可知处取得极小值 1 27 4 3 5 xxxF在处取得极大值在 6 分 2 由 1 可知函数作函数的图象 大致图象如下图所示xFy ky 当 的图象与函数的图象有三个交点时 xFy ky 关于 x 的方程恰有三个kxF 27 4 0 k结合图形可知不等的实数根 12 分 22 解 2 分 0 1 2 x ax ax xf 1 由已知 得上恒成立 1 0 在xf 即上恒成立 1 1 在 x a 又当 1 1 1 x x时 6 分 1 1 的取值范围为即aa 2 当时 1 a 在 1 2 上恒成立 这时在 1 2 上为增函数0 x f xf 8 分0 1 min fxf 当在 1 2 上恒成立 这时在 1 2 上为减函数 2 1 0 a0 x f xf 10 分 2 1 2ln 2 min a fxf 当时 令 1