高三总8题中反函数问题的解题策略

高三总复习高考题中反函数问题的求解策略 转换是中学教学思想的精髓之一。充分利用原函数yf(x)与反函数yf-1(x)之间的关系，把有关反函数的问题转换成其相应的原函数来处理，是化繁为简，化生为熟这种解题思维的具体表现。下面以高考题为例；说明几种转换策略。 一、利用反函数与原函数对应法则具有互逆性来转化问题 性质：f(a)=bf-1(b)=a。例1设f(x)=4x-2x+1(x0)，则f-1(0)=_。分析：由f(a)=bf-1(b)=a, 故设f(a)=0，即4a-2a+1=0a=1, 即f(1)=0,f-1(0)=1。例2若函数y=f(x)的反函数是y=g(x), f(a)=b, ab0，则g(b)等于（ ）。 AaB. a-1C. bD. b-1 分析：由题可知，对应法则f与g互逆故f(a)=b, f-1(b)=a，即f-1(b)=g(b)=a。 因此答案选(A)。 二、利用反函数与原函数的定义域与值域具有互逆性来转化问题 性质：函数yf(x)的定义域为A，值域为B，则其反函数yf-1(x)的定义域为B，值域为A 例3. 已知函数，那么它的反函数为( )。 A. B. C. D. 分析：经观察，四个选项中所给函数的定义域均不相同，所以可考虑以反函数定义域的确定为突破口。 原函数的值域即反函数的定义域为 因此答案选B。 三、利用反函数与原函数的奇偶性、单调性具有一致性来转化问题 性质：奇函数的反函数是奇函数；一般的偶函数不具有反函数。 在相应的区间上，增函数的反函数是增函数；减函数的反函数是减函数。 例4函数的反函数( )。 A、是奇函数，它在(0,+)上是减函数 B、是偶函数，它在(0,+)上是减函数 C、是奇函数，它在(0,+)上是增函数 D、是偶函数，它在(0,+)上是增函数 分析： f(x)+f(-x)。 原函数f(x)是奇函数。 又结合选择题的特征，由特殊值法验证： 可知：是奇函数且是增函数，故其反函数在(0,+)上是单调递增的奇函数。 因此答案选(C)。 四、利用反函数与原函数的图象具有对称性来转化问题 性质：原函数的图象与反函数的图象关于直线yx对称。 例5设函数, 则函数yf-1(x)的图象是( )。 分析：由得x2+(y-1)2=1(-1x0)，其图象如A所示，根据y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，所以应选B。 例6已知直线l1和l2夹角的平分线为yx，如果ll的方程是ax+by+c=0(ab0)，那么l2的方程是( ) A. bx+ay+c=0 B. ax-by+c=0 C. bx+ay-c=0 D. bx-ay+c=0 分析：直线可以和一次函数的图象建立联系。把l1的方程整理成yf(x)的形式，求l1关于yx对称的直线l2的方程时，可看作求yf(x)的反函数的解析式。 由点，可轻松地处理上述问题，只需将ll方程中的x，y互换则得到l2的方程为：ay+bx+c0。 因此答案选(A)。 综上，高考题中对于反函数知识点的考查，多集中于求反函数的解析式，定义域、值域、函数值、图象、单调性及奇偶性。处理这类问题时，灵活