高三总17函数思想

高三总复习函数思想 函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题 1利用函数概念 例1曲线C是定义在R上的函数y=f(x)的图象，则( ) A曲线C与直线x=1可能有两个交点 B曲线C与直线x=1可能有一个交点 C曲线C与直线x=1一定有两个交点 D曲线C与直线y=1有且仅有一个交点 分析与解：对于函数y=f(x)定义域为A，值域为B，则对任xA，都有唯一的yB与之相对应，故选B 例2若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=C(C为常数) A有且只有一个实根B至少有一个实根 C至多有一个实根D没有实根 分析与解：函数y=f(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的，若C在函数f(x)的值域中，则必有唯一实根，若C不在函数f(x)的值域中，则无实根，选C 2利用函数的奇偶性 奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的 （1）利用函数奇偶性解方程(组) 例3解方程 (3x3-4)3+4x3+x-4=0 (只求实数根) 分析与解：原方程可变为(3x3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).， 令f(x)=x3+x，易证f(x)是奇函数且在R上是增函数，方程就是f(3x3-4)=-f(x)=f(-x)。 由f(x)的单调性知3x3-4=-x，即3x3+x-4=0，此方程显然有一根为1， 故原方程就是(x-1)(3x2+3x+1)=0，因为3x2+3x+1=0无实根，所以x=1为原方程的实数根。 （2）利用函数奇偶性求值 例4设(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+a42sin42x, 求a1+a5+a9+a41的值。 分析与解：令f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7 =a0+a1sinx+a2sin2x+a42sin42x, 易证f(x)是R上的偶函数， 故a1=a3=a5=a41=0，所以a1+a5+a9+a41=0。 （3）利用函数奇偶性证明不等式 例5求证：0时，1-4x0，所以f(x)0，即0，且a1，试比较xloga(1-x)与xloga(1+x)的大小。 分析与解答：设f(x)=xloga(1-x)-xloga(1+x)=xloga。 因为f(-x)=-xloga=-xloga()-1=xloga=f(x)，所以f(x)是偶函数，图像关于y轴对称。 若a1，由已知得-1x1且x0，所以当-1x1， 所以loga0, xloga0，即f(x)0，由图像的对称性知，当0x1时，f(x)0， 故xloga(1-x)xloga(1+x)。 若0axloga(1+x)。 综上，当a1时，xloga(1-x)xloga(1+x)。 当0axloga(1+x)。 3利用函数的单调性 单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面应用十分广泛。 例8已知不等式loga(a-1)+对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。 分析：注意到不等式仅仅左边是与n有关的式子，从函数的观点看，左边是关于n的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右式，如何求这个函数的最小值呢？ 这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手。 解：设f(n)= (nN, n2)。 f(n+1)-f(n)=()-() =0, f(n)是关于n(nN,n2）的递增函数，则f(n)f(2)=。 要使不等式成立，只须loga(a-1)+，解之得1a0，且a1，易得函数定义域为x1，即a2,令u=2-ax，以下分类讨论。 （1）若0a1，则u=2-ax在0，1上递减，则y=loga(2-ax)在0，1上递增。 （2）若1ax+1。 解：令y1=，y2=x+1，在同一坐标系内画出这两个函数的图象（如图1），然后“看图说话”，找出y1的图象在y2的图象上方时所对应的x的集合。 易得，原不等式解集为-,2)。 6利用函数的值域 求函数的值域，涉及到众多数学知识，构成了中学数学的重要横向知识体系，同时也为利用函数值域解题提供了广阔的天地，尤其对某些含参数的不等式，在分离参数的基础上，通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围，从而避免了对参数的繁琐讨论。 例13已知不等式1cos2x+sinx+a,对于一切xR恒成立，求a的取值范围。 解：令f(x)=cos2x+sinx+a=-sin2x+sinx+1+a=-(sinx-)2+a。 fmin(x)=-1+a, fmax(x)=+a。 要使命题成立，只须 即 解得2a3。 例14若方程sin2x+cosx+a=0有解，求实数a的取值范围。 解：由方程得a=cos2x-cosx-1，设f(x)=cos2x-cosx-1, 要方程有解，只须a在f(x)的值域内即可， 而f(x)=(cosx-)2-,-1cosx1, -f(x)1, -a1。 例15若cos2x-32kcosx-4k, x0,时恒成立，求实数k的范围。 解：由cos2x-32kcosx-4k, 得k, x0, 令f(x)= ，只须kfmax(x), 而f(x)= =-(2-cosx)+44-2, 当2-cosx=，即cosx=2-2时取等号， k4-2。 7利用一次函数的保号性 某些数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数f(x)在区间a,b上函数值的符号问题，从而使问题获解。 例16若对一切|P|2, PR，不等式(log2x)2+Plog2x+12log2x+P恒成立，求实数x的范围。 解：原不等式整理为f(P)=(log2x-1)P+(log2x-1)20, 要使f(P)在-2P2上恒成立，只须， 即 解得log2x3故 x(0,)(8, +)。 例17已知|a|1, |b|1, |c|a+b+c。 证：构造函数f(x)=(bc-1)x+2-b-c, 这里|b|1, |c|1, |x|1, 则bc0 f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)0 一次函数f(x)=(bc-1)x+2-b-c, x(-1,1)的图象在x轴上方， 这就是说，当|a|1, |b|1, |c|0，即abc+2a+b+c。 8利用二次函数的性质 二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如m+n=p, mn=q的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决。 例18在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得几次测量分别得到a1,a2,.an共n个数据，我们规定所量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其近似值比较, a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,.an推出a=_。 分析：将题中关键语句“a为各数据的差的平方和最小”翻译成数学语言，即“(a-a1)2+(a-a2)2+(a-an)2最小”是我们能寻找解题有效途径的突破口。 解：f(a)=(a-a1)2+(a-a2)2+(a-an)2=na2-2(a1+a2+an)+a12+a22+an2, 故当a=时，f(a)取最小值。 说明：对于实际应用问题，首先要读懂文字说明，再将其翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质，重要不等式或有关知识解决。 9函数思想为指导，探求解析几何问题的思路对于动态型的解析几何问题，存在两个互相联系，互相制约的变量，我们常常把其中一个看成自变量，另一个看成自变量的函数，通过明确函数的解析式，利用函数的思想来研究和处理。 例19已知双曲线以两条坐标轴为对称轴，焦点在y轴上。它的实轴长为2sin()，又这双曲线上点P(x,y)到定点M(1,0)的最短距离为，求该双曲线离心率的取值范围。 分析：双曲线方程可设为=1，解题的首要环节是以点P的坐标为变量建立|PM|的函数表达式，并用b, sin表示其最小值，而后由题设可建立b和sin之间的关系式，把离心率e表示成b或sin的函数，研究它的取值范围。 解：设双曲线方程为=1。 |PM|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+sin2(1+)=(1+)x2-2x+1+sin2 xR， |PM|2的最小值为1+sin2-， 因此1+sin2-=，即b2=。 由b