高三数学一轮基础导航8.1空间几何体

8.1空间几何体【考纲要求】1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。2、能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。3、会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4、会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。5、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。【基础知识】一、有关投影的概念1中心投影把光由一点向外散射形成的投影。中心投影的投影线相交于一点。2平行投影把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线互相平行。平行投影包括正投影和斜投影，投影线正对着投影面叫做正投影，否则叫做斜投影，在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的。二、空间几何体的三视图1三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。它具体包括正视图（又叫主视图，从几何体的正前方观察几何体画出的轮廓线，只能反映物体的高度和长度）、侧视图（又叫左视图，从几何体的正左方观察几何体画出的轮廓线,只能反映物体的高度和宽度）和俯视图（从几何体的正上方观察几何体画出的轮廓线，只能反映物体的长度和宽度）。2三视图的画法规则（1）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线用实线表示，不能看见的轮廓线要画成虚线；尺寸线要用细实线标出；表示直径，表示半径;单位不注明，则按记。（2）基本原则： “正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高” 即：长对正、宽相等、高平齐。（3）三视图的排放顺序：先画主视图，再将左视图放在主视图的右边，最后将俯视图画在主视图的下面。三、空间几何体的直观图的画法1画多面体的直观图常用的画法是斜二测画法。斜二测画法的一般步骤：(1) 建立直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点.(2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的轴和轴, 两轴相交于点,且使角 它们确定的平面表示水平平面。(3) 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度保持不变， 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度变为原来的一半.(4)对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段。(5) 擦去辅助线: 图画好后,要擦去轴轴及为画图添加的辅助线。2斜二测画法的关键是找到多边形的顶点，一般通过作与坐标轴平行或垂直的线段找到顶点的位置。3与斜二测画法有关的计算，一般先要画好带坐标系的两个图（平面图和直观图），再标记出已知条件，最后解三角形。四、多面体1概念：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体。2分类：把一个多面体的任意一个面延展为平面。如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫凸多面体，如果其余的各面不都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫凹多面体。五、几种常见的多面体1棱柱定义：有两个互相平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行。分类：按侧棱与底面的关系分为直棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）和斜棱柱。 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。长方体：底面是矩行的直平行六面体是长方体。正方体：棱长都相等的长方体是正方体。2棱锥棱锥定义：棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 。正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，则这个棱锥叫做正棱锥正四面体：每条棱长都相等的三棱锥叫正四面体。3棱台棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 4圆柱、圆锥、圆台圆柱：可以看做以矩形的一边为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体。圆锥：可以看做以直角三角形的一直角边为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体。圆台：可以看做以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体。5球球：一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体。形成球的半圆的圆心叫球心；连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径。球面也可以看作空间中到一个顶点的距离等于定长的点的集合、 六、空间几何体的表面积和体积1空间几何体的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面的面积之和。长方体的对角线圆柱、圆锥、圆台的表面积就是它的侧面展开图（矩形、扇形和扇环）的面积。 （其中代表扇形的弧长，代表扇形的半径，代表扇形的圆心角的弧度数，代表扇形圆心角的度数）球的表面积： 柱体、锥体、台体和球的体积公式 2求几何体的面积和体积的方法方法一：对于规则的几何体一般用公式法。方法二：对于非规则的几何体一般用割补法。七、与球有关的组合体问题 一般要直观地画出组合体的空间图形，再找到合适的轴截面，最后解直角三角形等。【例题精讲】例1 如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积解：(1)正六棱锥(2)其侧视图如图：其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图中正六边形对边的距离，即BCa，AD的长是正六棱锥的高，即ADa，该平面图形的面积Saaa2.(3)V6a2aa3.例2 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点求这三个球的半径之比解：设正方体的棱长为a，球的半径分别为R1，R2，R3.球内切于正方体时，球的直径和正方体的棱长相等，如图1所示，AB2R1a，所以R1；球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD2R2a，所以R2；当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF2R3a，所以R3.故三个球的半径之比为1:. 8.1空间几何体强化训练【基础精练】1.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为 ()A.上面为棱台，下面为棱柱B.上面为圆台，下面为棱柱C.上面为圆台，下面为圆柱D.上面为棱台，下面为圆柱2. 如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是 () 3.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是 ()A.3 B. C.2 D.4.如图ABC是ABC的直观图，那么ABC是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 () A. B. C. D.6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 ()A.南 B.北 C.西 D.下7.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号).矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体. 解析：由该几何体的三视图可知该几何体为底面边长为a，高为b的长方体，这四个顶点的几何形体若是平行四边形，则其一定是矩形.8.如图(1)，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图(2)(3)所示，则其侧视图的面积为.9.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥CABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为.10.已知正三棱锥VABC的正视图和俯视图如图所示.(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图.(2)求出侧视图的面积.11.如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积.12.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积.【拓展提高】1一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长2用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台上、下底面半径的比是14，截去的小圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长3.已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形， ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDC2AB4.(1)根据已经给出的此四棱锥的正视图，画出其俯视图和侧视图；(2)证明：平面PAD平面PCD.【基础精练参考答案】1和，棱柱高等于，故几何体的体积V1.4.B【解析】：由斜二测画法知ABC为直角三角形.5.C【解析】：由三视图知该几何体为圆柱，其底面半径为r，高h1，S侧2rh.6.B【解析】：如图所示. 7. 【解析】8. 2【解析】：其侧视图是底为2，高为2的矩形，S22. 9. 【解析】：根据这两个视图可以推知折起后二面角CBDA为直角二面角，其侧视图是一个两直角边长为的直角三角形，其面积为.10【解析】(1)如图.(2)根据三视图间的关系可得BC2，侧视图中VA 2，SVBC226.11.【解析】：(1)正六棱锥(2)其侧视图如图：其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图中正六边形对边的距离，即BCa， AD的长是正六棱锥的高，即ADa， 该平面图形的面积Saaa2.(3)V6a2aa3.12.【解析】：(1)该安全标识墩侧视图如图所示.(2)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH404060404020