为数学化教学搭建“脚手架”

为数学化教学搭建“脚手架”思索凡是值得思考的事情，没有不是被人思考过的，我们做的只是试图重新加以思考而已。歌德传统数学课堂关注数学化，但只重结果，总觉得数学化的过程缺少些什么。而课改后课堂关注生活化，但也总觉得生活化的教学丢失了什么。带着这样的疑问，我经常聆听名师的课堂教学，尤其是聆听特级教师丁杭缨的课堂教学，终于领悟到了一些道理。【例1】有余数的除法（二年级上册）【例2】千以内数的认识（二年级下册）例1中学生从动手搭小棒这具体的实物操作，到脑中搭正方形的半具体半抽象的表象操作，再到算式的抽象符号操作，搭正方形自始至终贯穿在数学化的过程之中；例2中大屏幕上显示具体的596块积木、计数器上所拨的半具体半抽象的596、对应数位顺序表下写着的抽象的596，这三者有机联系在一起，构建了596的意义磁场。正是为学生搭建了“脚手架”，使学生完成了数学思维的三步跳。同时让学生在具体、半具体半抽象和抽象中反复穿梭，寻求联结的过程，为数学化教学注入富有生命的灵性内涵。实践我不能，别的任何人也不能替代你走过的路，你必须自己去走。惠特曼一种想法酝酿着一种实践，它促使着我有了跃跃欲试的那股冲动，也只有实践才会促使我不断成长。在参加市教坛新秀上课评比时，在短短一个半小时备课中，我试图用搭建“脚手架”的方法引领学生完成数学化的过程，而设计了如下教学片断。片断A：初教笔算乘法（三年级下册）。出示题目：一套书12本，每本24元，共花多少元？师：你能列出算式吗？生：1224，2412。师：估计大约花多少元钱？生：把12看成10，24看成20，1020=200，大约花200元钱。师：如果要准确计算12乘24的结果，你会吗？出示要求：安静地想一想，你有几种方法，并写下来。在你的四人小组内交流，你又学会了什么方法？汇报：师：48是怎么来的？代表什么意思？横式中有吗？24呢？代表什么意思？横式中呢？（沟通竖式、横式与生活原型的联系）反思：尽管时间很短，但我试图沟通乘法竖式、横式与实物图三者之间的联系，也能有丁杭缨老师招牌教学的雏形，且能从具体的实物图到半具体半抽象的横式计算，再到抽象的竖式计算，寻找笔算乘法的意义建构。但细细推敲，总觉得设计不够深入，尤其是算法多样化方面留下诸多遗憾。再实践智慧的秘密可能恰恰在各要素之间关系的那种妙不可言的契合。丁杭缨带着仔细斟酌过的教学预案，我踌躇满志、怀着期待踏上讲台，又一次进行数学课堂教学的尝试。片断B：再教笔算乘法（三年级下册）。师：你是怎样计算两位数乘两位数的？242=482410=240240+48=2882426=2882434=2881238=2881246=288竖式计算（同第一次教学）师：这么多的方法，其实有共同点，就是把新知识转化为旧知识解决，这就是化归思想方法。下面来找找竖式计算与横式计算的联系点。（沟通竖式、横式与实物图之间的联系）生：我的竖式怎么与横式没什么联系？我仔细看该生的解题过程，发现他的方法非常别具一格。为了让其他同学理解方便，我做了如下板书。）师：谁能理解他的意思？（48不是224的结果）生：他先算4个12是48，再算20个12是240，加起来还是288。师：能找到它的横式吗？生：不能。师：真是与众不同，你解释得更好。其实我们做笔算乘法时一般是由下往上乘。能联系实际说说它具体的意义吗？又一次引领学生踏上了数学化的“旅程”，与上次相比，这次赋予数学化的内涵更加丰富，思想更加深刻。从具体的生活化购书情境，引发出多种解决新问题的途径，就是利用化归思想方法将问题解决，然后实现横式与竖式一一对应，再去寻找生活中的原型，进而完成数学化的全过程。课堂有精心预设，又有有效生成，尤其是那位学生“与众不同”的竖式计算，从另一个角度沟通了横式、竖式与现实原型的联系，为数学化注入丰富内涵！再思索学生与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”。弗赖登塔尔由当初的一种想法刺激着我跃跃欲试，两次的实践之后我又想去寻找理论的支撑，希望获得更大的认可。我的教学实践不正切合弗赖登塔尔的巨著作为教育任务的数学中关于数学化的诠释吗？我细细琢磨，搭建“脚手架”，引领学生完成数学化，找到了以下三个联接点。一、数学和现实的联接点找准现实原型数学课堂是理性的，那是我们数学课程自身注定的。小学生的数学学习却是感性的，那是小学生自身的思维特点决定的。如果将理性的数学知识和学生感性的现实经验巧妙结合，借助已有现实原型这个“拐杖”，数学学习也就会变得事半功倍。“笔算乘法”是理性的，但是孩子们计算24乘12时却联想到了现实的原型，又用感性的经验解释了理性的数学。同理，“有余数除法”找到了“动手搭小棒”的现实原型，“千以内数的认识”找到“大屏幕上的596块积木”这个现实原型。正是因为找准了数学的现实原型，学生的数学学习才会变得水到渠成。二、抽象和直观的联接点搭建提升阶梯数学是抽象的，但是小学生更喜欢直观的数学。因此沟通直观模型和抽象数学之间的联系就成为教师关注的重点。“笔算乘法”中竖式计算利用联想到的购书情境，“有余数的除法”中凭借脑中搭正方形的表象操作，“千以内数的认识”中借助计数器上所拨的半具体半抽象的596，这些都是找到了表象这个载体，搭建了学生数学思维提升的阶梯。三、新知和旧知的联接点激活新知生长数学知识是需要生长支点的，否则数学知识就成为无源之水、无本之木。在教学中，教师应在数学新知和旧知间架起一座沟通的桥梁，让学生从已有的知识顺利迁移到新知识，激活新知的生长点，打通知识生长的脉络。笔算乘法是找到对应的横式口算这个生长点，有余数的除法找到了无余数除法的生长点，千以内数的认识找到了百