2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程讲义新人教A版.docx

23.1双曲线及其标准方程1双曲线(1)定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合PM|MF1|MF2|2a,02a0，b0且ab.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2By21(其中AB0)()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为_(2)双曲线x24y21的焦距为_(3)(教材改编P55T1)已知双曲线a5，c7，则该双曲线的标准方程为_(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有_(把序号填在横线上)x21；1(a0)；y23x21；x2cosy2sin1.答案(1)4或12(2)(3)1或1(4)解析(3)a5，c7，b2.当焦点在x轴上时，双曲线方程为1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为1.探究1双曲线标准方程的认识例1若是第三象限角，则方程x2y2sincos表示的曲线是()A焦点在y轴上的双曲线B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在x轴上的椭圆解析曲线方程可化为1，是第三象限角，则cos0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线故选A.答案A拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线答案C解析原方程化为1，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线探究2双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在坐标轴上，且过M，N两点；(2)两焦点F1(5,0)，F2(5,0)，且过P.解(1)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为1(a0，b0)M，N在双曲线上，解得(不符合题意，舍去)当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为1(a0，b0)M，N在双曲线上，解得即a29，b216.所求双曲线方程为1.(2)由已知可设双曲线方程为1(a0，b0)，代入点P可得1，又a2b225，由联立可得a29，b216，双曲线方程为1.解法探究例2(1)有没有其他解法呢？解双曲线的焦点位置不确定，设双曲线方程为mx2ny21(mn0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2ny21(mn0)(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组(4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求【跟踪训练2】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解(1)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中02,222，故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形令|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2，因|F1F2|2c，所以有定义：|r1r2|2a.余弦公式：4c2rr2r1r2cos.面积公式：SPF1F2r1r2sin.一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决【跟踪训练3】(1)已知P是双曲线1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|17，求|PF2|的值解由双曲线方程1可得a8，b6，c10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离dca2，因为|PF1|PF2|16，|PF1|17，所以|PF2|1(舍去)或|PF2|33.(2)已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，则SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.探究4与双曲线有关的轨迹问题例4如图，在ABC中，已知|AB|4，且三内角A，B，C满足2sinAsinC2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程并指出表示什么曲线解如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理得sinA，sinB，sinC.2sinAsinC2sinB，2ac2b，即ba.从而有|CA|CB|AB|2)故C点的轨迹为双曲线右支且除去点(，0)拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)(2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)(3)写出标准方程并下结论(定论)【跟踪训练4】如图所示，已知定圆F1：x2y210x240，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解圆F1：(x5)2y21，圆心为F1(5,0)，半径r11.圆F2：(x5)2y242，圆心为F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|32a时，不表示任何图形； (3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置； (2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值. 1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(3，) D(，1)答案B解析依题意，应有m10，即m1.2已知双曲线1，则双曲线的焦点坐标为()A(，0)，(，0) B(5,0)，(5,0)C(0，5)，(0,5) D(0，)，(0，)答案B解析由双曲线的标准方程可知a216，b29，则c2a2b216925，故c5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(5,0)，(5,0)3已知双曲线的方程为1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为另一焦点，则ABF1的周长为()A2a2m B4a2m Cam D2a4m答案B解析A，B在双曲线的右支上，|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，|BF1|AF1|(|BF2|AF2|)4a.|BF1|AF1|4am.ABF1的周长为4amm4a2m.4焦点在y轴上，a3，c5的双曲线方程为_答案1解析b2c2a2523216，又焦点在y轴上，双曲线方程为1.5已知双曲线的两个焦点F1，F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的