2010届高三数学教师命题大赛试题7

2010 届高三数学教师命题大赛试题 07 数学理 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 则等于 A 12 11x xBx x AB A B 13xx 03x xx 或 C D 10 xx 1023xxx 或 2 设 是实数 且是实数 则 t 2 31 31 i i t A 2 1 B 1C 2 3 D 2 3 如图 水平放置的三棱柱的侧棱长和底 边长均为 2 且侧棱 正视图 1111 AAABC 面 是边长为 2 的正方形 该三棱柱的左视图 面积为 A B C D 432223 4 已知各项为正数的等比数列中 则的值等于 n a 3813 lg6a a a A A 115 a aA A 10000 B 1000 C 100 D 10 5 若且 则是的 0 0 ba1 a0log b a 011 ba A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 6 已知 f x tan sin 4 其中 为常数且 ab0 如果 f 3 5 则 f 2008 3 的值a 2 x bxab 为 A B C D 3 5 35 7 已知点 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 过 F1且垂直于 x 轴的直线与椭圆 22 22 1 xy ab 交于 A B 两点 若 ABF2为正三角形 则该椭圆的离心率是 e A B C D 2 1 2 2 3 1 3 3 B1 A1 B A B1 A1 B A 正视图 俯视图 8 定义域为 R 的函数 若关于的方程 1 1 1 11 x xf x x x 2 0fxbf xc 有 3 个不同的整数解 则等于 123 x xx 123 f xxx A B C D 0lg2lg41 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分 满 分分 30 分 分 一 必做题 一 必做题 9 12 题 题 9 设 其中为互相垂 13 1amij bimj i j 直的单位向量 又 则实数 abab m 10 已知的展开式的第五项是常数项 则 n x ax 1 n 11 已知某算法的流程图如图所示 若将输出的 x y值依次记为 11 xy 22 xy nn xy 1 若程序运行中输出的一个数组是 8 t 则t 2 程序结束时 共输出 x y的组数为 12 对于任意实数表示中较大的那个 1212 maxxxxx 12 xx 数 则当时 函数 f x max的最大值与最小值的差是xR 2 1 23 2 xxx 二 选做题 二 选做题 13 15 题 考生只能从中选做两题 题 考生只能从中选做两题 13 坐标系与参数方程选做题 曲线 C 在直角坐标系中的参数方程 为参 sin2 cos2 y x 数 若以原点为极点 轴正半轴为极轴 长度单位不变 建立极坐标系 则曲线 C 的x 极坐标方程是 14 不等式选讲选做题 已知 则 的取值范围 1f xxx 0 5 f 2f x 为 15 几何证明选讲选做题 从圆外一点作圆的割线 是圆的直OPOPCDPAB ABO 径 若 则 3 5 4 CDPCPACBD 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知向量 cossin1 cossin2sin1 xx b xxx a 设函数 baxf 求 xf的最大值及相应的x的值 若 f 5 8 求 2 4 2cos 的值 17 本小题满分 12 分 为了收集 2009 年 7 月 长江日全食 天象的有关数据 国家天文台在成都 武汉各设置 了 A B 两个最佳观测站 共派出 11 名研究员分别前往两地实地观测 原计划向成都派 出 3 名研究员去 A 观测站 2 名研究员去 B 观测站 向武汉派出 3 名研究员去 A 观测站 3 名研究员去 B 观测站 并都已指定到人 由于某种原因 出发前夕要从原计划派往成都 的 5 名研究员中随机抽调 1 人改去武汉 同时 从原计划派往武汉的 6 名研究员中随机抽 调 1 人改去成都 且被抽调的研究员仍按原计划去 A 观测站或 B 观测站工作 求 I 派往两地的 A B 两个观测站的研究员人数不变的概率 II 在成都 A 观测站的研究员从数 X 的分布列和数学期望 18 本小题满分 14 分 如图 边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面 2PCD ABCD2 2BC 为的中点MBC 证明 AMPM 求二面角的大小 PAMD 求点到平面的距离DAMP 19 本题满分 14 分 已知点 圆 4 4PC 与椭圆 22 5 3 xmym E 有一个公共点 22 22 1 0 xy ab ab M P D C B A Q P O y x F1 A C F2 分别是椭圆的左 右焦点 直线与圆相切 3 1A 12 FF 1 PFC 求的值与椭圆的方程 mE 设为椭圆上的一个动点 求的取值范围 QEAP AQ 20 本小题满分 14 分 已知二次函数 10 3 2 33 21 2 tttxylxlxxxf且为常数其中和直线 直线 l2与函数的图象以及直线 l1 l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中 xf xf 阴影所示 设这两个阴影区域的面积之和为 tS I 求函数的解析式 tS II 定义函数的 4 1 RR xxhymmAxxSxh可作曲线若过点 三条切线 求实数的取值范围 m 21 本题满分 14 分 在数列中 n a 111 1 302 nnnn aa aaan 求数列的通项 n a 若对任意的整数恒成立 求实数的取值范围 1 1 n n a a 2n 设数列的前项和为 求证 nnn bab n n T 2 31 1 3 n Tn 广东省 2010 高中青年教师命题大赛 07 数学理参考答案参考答案 一 选择题 一 选择题 1 A 2 C 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 二 填空题 二 填空题 9 10 9 11 81 1004 12 5 13 14 1 2 sin4 13 22 x 15 30 三 解答题 三 解答题 16 本题12分 解 解 cossin 1 cossin 2sin1 xxxxxbaxf cos sincos sin2sin1xxxxx 2 分 xxx 22 cossin2sin1 xx2cos2sin1 4 分 4 2sin 21 x 6 分 当 2 2 4 2 kx 即 8 3 Zkkx 时 21 max xf 8 分 解法 1 由 知 xxxf2cos2sin1 5 8 2cos2sin1 f 5 3 2cos2sin 两边平方 得 25 9 2cos2sin21 10 分 25 16 4sin 11 分 25 16 4sin 4 2 cos 2 4 2cos 12 分 解法 2 由 知 12sin 2 4 f 8 12sin 2 45 3 sin 2 4 5 2 10 分 2 16 cos2 2 12sin 2 4425 12 分 17 本小题满分 12 分 解 解 I 设互换的是 A 观测站的研究员为事件 A 互换的是 B 观测站的研究员为事件 B 则 A B 互斥 2 分 因为 4 分 5 1 10 3 1 6 1 5 1 3 1 2 1 6 1 5 1 3 1 3 CC CC BP CC CC AP 所以 5 分 2 1 5 1 10 3 BPAPBAP 故派往两地的 A B 两个观测站的研究员人数不变的概率为 6 分 2 1 II 根据题意 X 的可能取值为 2 3 4 分10 5 1 4 2 1 3 10 3 2 1 6 1 5 1 3 1 2 1 6 1 5 1 3 1 2 1 3 1 3 1 6 1 5 1 3 1 3 CC CC CP CC CCCC XP CC CC XP 所以 X 的分布列为 X234 P 10 3 2 1 5 1 12 分 10 29 4 5 1 3 2 1 2 10 3 EX 18 本小题满分 14 分 解法解法 1 取 CD 的中点 E 连结 PE EM EA PCD 为正三角形 PE CD PE PDsin PDE 2sin60 3 平面 PCD 平面 ABCD PE 平面 ABCD 2 分 四边形 ABCD 是矩形 ADE ECM ABM 均为直角三角形 由勾股定理可求得 EM 3 AM 6 AE 3 222 AEAMEM 4 分 E B C D P M AMEM 又EMPM是在平面 ABCD 上射影 AME 90 AM PM 6 分 由 可知 EM AM PM AM PME 是二面角 P AM D 的平面角 8 分 tan PME 1 3 3 EM PE PME 45 二面角 P AM D 为 45 10 分 设 D 点到平面 PAM 的距离为d 连结 DM 则 PAMDADMP VV dSPES PAMADM 3 1 3 1 而22 2 1 CDADS ADM 12 分 在Rt PEM 中 由勾股定理可求得 PM 6 1 3 2 PAM SAM PM 所以 d 3 3 1 322 3 1 3 62 d 即点 D 到平面 PAM 的距离为 3 62 14 分 解法解法 2 以 D 点为原点 分别以直线 DA DC 为 x 轴 y 轴 建立如图所示的空间 直角坐标系Dxyz 依题意 可得 0 2 0 3 1 0 0 0 0 CPD 0 2 2 0 0 22 MA 2 分 2 2 0 0 1 3 2 1 3 PM 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 AM 4 分 2 1 3 2 2 0 0PM AM 即PMAM AM PM 6 分 设 nx y z 且n 平面 PAM 则 0 0 n PM n AM 即 0 0 2 2 0 3 1 2 zyx zyx z y x M P DC B 022 032 yx zyx yx yz 2 3 取1 y 得 2 1 3 n 8 分 取 0 0 1 p 显然p 平面 ABCD 32 cos 2 6 n p n p np 结合图形可知 二面角 P AM D 为 45 10 分 设点 D 到平面 PAM 的距离为d 由 可知 2 1 3 n 与平面 PAM 垂直 则 DA n d n 3 62 3 1 2 3 1 2 0 0 22 222 即点 D 到平面 PAM 的距离为 3 62 14 分 19 解 解 点 A 代入圆 C 方程 得 2 3 15m m 3 m 1 2 分 圆 C 22 1 5xy 设直线 PF1的斜率为 k 则 PF1 4 4yk x 即 440kxyk 直线 PF1与圆 C 相切 2 044 5 1 kk k 解得 4 分 111 22 kk 或 当 k 时 直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为 不合题意 舍去 11 2 36 11 当 k 时 直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为 4 1 2 c 4 F1 4 0 F2 4 0 6 分 2a AF1 AF2 a2 18 b2 2 5 226 2 3 2a Q P O y x F1 A C F2 椭圆 E 的方程为 8 分 22 1 182 xy 设 Q x y 1 3 AP 3 1 AQxy 10 分 3 3 1 36AP AQxyxy 即 22 1 182 xy 22 3 18xy 而 18 6xy 18 22 3 2 3 xyxy 则的取值范围是 0 36 12 分 222 3 3 6186xyxyxyxy 的取值范围是 6 6 3xy 的取值范围是 12 0 14 分36AP AQxy 20 本小题满分 14 分 20 本小题满分 14 分 解 解 I 由 2 分0 1 3 33 2 2 xtx txy xxy 得 分 所以 分所以因为 分别为的图象的交点的横坐标与所以直线 所以 6 2 6 1 2 1 3 2 1 3 3 33 33 3 3 2 11 10 1 0 1 0 3 2 1 231 0 32 2 1 2 1 0 2 2 21 tt x t xxx t dxtxxxdxxxtxtS tt txfl txx t t t t II 依据定义 7 分 6 1 3 26 1 23 xxhxxxxh则R 1 1 0 9 6 6 62 062 1 26 1 6 1 3 1 4 000 2 000 3 00 0 3 0 0 0 3 02 0 00 xxxg xxgmxxxg mxx x mxx x yxMxhyA xhymAm 或得由 分则设 有三个不等实根化简整理得 则 设切点为的切线作曲线过点 上不在曲线则点因为 10 分 1 1 1 1 0 上单调递增在上单调递增在区间所以 xg 所以 当 1 00 取极大值函数时xgx 当 11 分 1 00 取极小值函数时xgx 因此 关于 x0的方程 0 1 0 1 062 0 3 0 g g mxx是有三个实根的充要条件 12 分 4 4 04 04 m m m 即即 故实数 m 的取值范围是 4 4 14 分 解 解 I 由 2 分0 1 3 33 2 2 xtx txy xxy 得 分 所以 分所以因为 分别为的图象的交点的横坐标与所以直线 所以 6 2 6 1 2 1 3 2 1 3 3 33 33 3 3 2 11 10 1 0 1 0 3 2 1 231 0 32 2 1 2 1 0 2 2 21 tt x t xxx t dxtxxxdxxxtxtS tt txfl txx t t t t II 依据定义 7 分 6 1 3 26 1 23 xxhxxxxh则R 1 1 0 9 6 6 62 062 1 26 1 6 1 3 1 4 000 2 000 3 00 0 3 0 0 0 3 02 0 00 xxxg xxgmxxxg mxx x m