2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)_数学(文).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷分第卷和第卷两部分.满分150分.考试用时120分钟.参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B).第卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2014山东，文1)已知a，bR，i是虚数单位，若ai2bi，则(abi)2()A34i B34iC43i D43i答案：A解析：ai2bi，abi2i.即(abi)2(2i)244i134i.2(2014山东，文2)设集合Ax|x22x0，Bx|1x4，则AB()A(0,2 B(1,2)C1,2) D(1,4)答案：C解析：由已知可得Ax|0x2又Bx|1x4，ABx|1x23(2014山东，文3)函数的定义域为()A(0,2) B(0,2C(2，) D2，)答案：C解析：f(x)有意义，x2，f(x)的定义域为(2，)4(2014山东，文4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案：A解析：“至少有一个”的否定为“没有”5(2014山东，文5)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()Ax3y3 Bsin xsin yCln(x21)ln(y21) D答案：A解析：0a1，axay，xy.x3y3.6(2014山东，文6)已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a0)的图象如图，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1答案：D解析：由图象可知yloga(xc)的图象是由ylogax的图象向左平移c个单位得到的，其中0c1.再根据单调性易知0a1.7(2014山东，文7)已知向量a，b(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m()A B C0 D答案：B解析：cosa，b，解得.8(2014山东，文8)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组如图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A6 B8 C12 D18答案：C解析：设样本容量为n，由题意得n(0.240.16)20，n50.第三组的频数为500.3618人则第三组中有疗效的人数为18612.9(2014山东，文9)对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()A Bf(x)x2Cf(x)tan x Df(x)cos(x1)答案：D解析：由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于xa(a0)对称，则f(x)为准偶函数，在D中f(x)cos(x1)的图象关于xk1(kZ)对称，故选D.10(2014山东，文10)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值时，a2b2的最小值为()A5 B4 C D2答案：B解析：约束条件满足可行域如图所示由图可知目标函数zaxby(a0，b0)取最小值时，最优解为(2,1)，即，.当时，a2b2取最小值为4.第卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11(2014山东，文11)执行下面的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为_答案：3解析：输入x1,12430，执行是，x2，n1；返回22830，执行是，x3，n2；返回321230，执行是，x4，n3；返回421630，执行否，输出n3.12(2014山东，文12)函数的最小正周期为_答案：解析：原式.周期.13(2014山东，文13)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案：12解析：根据题意得底面正六边形面积为，设六棱锥的高为h，则，解得h1.设侧面高为h，则，h2.正六棱锥的侧面积为.14(2014山东，文14)圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为，则圆C的标准方程为_答案：(x2)2(y1)24解析：圆心在直线x2y0上，可设圆心为(2a，a)圆C与y轴正半轴相切，a0，半径r2a.又圆C截x轴的弦长为，解得a1(a1舍去)圆C的圆心为(2,1)，半径r2.圆的方程为(x2)2(y1)24.15(2014山东，文15)已知双曲线(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_答案：yx解析：由已知得|OA|a，|AF|c，.抛物线的准线.把yb代入双曲线得x22a2，直线被双曲线截得的线段长为，从而.，a2b22a2，ab，渐近线方程为yx.三、解答题：本大题共6小题，共75分16(本小题满分12分)(2014山东，文16)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率分析：(1)利用分层抽样在各层中的抽样比等于在总体中的抽样比求解(2)先利用列举法求出在这6件样品中随机抽取2件的总的基本事件个数及所抽取的2件商品来自相同地区的基本事件个数，进而利用古典概型的概率公式即可求解解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：,.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.17(本小题满分12分)(2014山东，文17)ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a3，.(1)求b的值；(2)求ABC的面积分析：(1)在ABC中，已知，相当于已知角A，B，又已知边a，故可利用求b.(2)由已知及(1)可知a，b，故根据，只需求sin C，在ABC中，由C(AB)，可求sin C.解：(1)在ABC中，由题意知，又因为，所以.由正弦定理可得.(2)由得.由ABC，得C(AB)，所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.因此ABC的面积.18(本小题满分12分)(2014山东，文18)如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.分析：(1)要证AP平面BEF，由线面平行的判定定理知，只需在平面BEF内找到一条直线与AP平行即可，而已知F为PC的中点“由中点找中点”，故考虑利用三角形的中位线定理求解，即找AC的中点，由已知可通过证明四边形ABCE为菱形而达到目的(2)要证BE平面PAC，由线面垂直的判定定理知：只需证BE垂直于平面PAC内的两条相交直线即可由(1)可知BEAC.又已知AP平面PCD，则AP垂直于平面PCD内的所有直线，即APCD，故考虑通过证明BECD来证明BEPA，则由BEAC且BEPA，可证BE平面PAC.证明：(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ADBC，所以AEBC，AEABBC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，因此在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BECD.又AP平面PCD，所以APCD，因此APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP，AC平面PAC，所以BE平面PAC.19(本小题满分12分)(2014山东，文19)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.分析：(1)已知等差数列an的公差d，要求其通项公式，只需求首项a1即可，由已知a22a1a4可求a1.(2)由(1)中所求an，可求bn，由Tn的特点，故考虑研究bn1bn的通项又(1)n表示各项的符号，故需对n的奇偶性进行讨论解：(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12，所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，.所以20(本小题满分13分)(2014山东，文20)设函数，其中a为常数(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性分析：(1)由已知可求切点坐标，故只需利用导数的几何意义求出斜率；则可求切线方程(2)先求出函数f(x)的导函数f(x)通过判断f(x)的符号来求f(x)的单调区间由于导数中含有参数a，所以要判断其符号，需要对参数a进行分类讨论同时，应注意函数的单调区间应是定义域的子区间，故需在定义域内研究其单调性解：(1)由题意知当a0时，x(0，)此时.可得，又f(1)0，所以曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为x2y10.(2)函数f(x)的定义域为(0，).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当时，0，函数f(x)在(0，)上单调递减当时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减当时，0.设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则，.由，所以x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增，x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当时，函数f(x)在(0，)上单调递减；当时，f(x)在，上单调递减，在上单调递增21(本小题满分14分)(2014山东，文21)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)的离心率为，直线yx被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数使得k1k2，并求出的值；求OMN面积的最大值分析：(1)要求椭圆方程，只需求a，b，由可得.又直线yx被椭圆C截得的线段长为，故联立yx与求线段长，由线段长等于，可得a，b的另一关系式，故可求a，b，则椭圆方程可求(2)要求的值，需求k1，k2，而直线BD的斜率k1由B，D两点的坐标确定，直线AM的斜率k2由A，M两点的坐标确定，且A，B关于原点对称M点是直线BD与x轴的交点，故本题的两个关键点是A，D，故只需设出A，D两点坐标，将k1，k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可SOMN，即SOMN可用点M，N的坐标表示又关系式为积的形式，由“和定积最大”，故考虑利用基本不等式求解解：(1)由题意知，可得a24b2.椭圆C的方程可简化为x24y2a2.将yx代入可得，因此，可得a2.因此b1，