数学人教版九年级上册24.1.4 圆周角(1).doc

九年级数学教学设计课程名称：24.1.4 圆周角年 级：九年级教 师：钱正家学 校：工山中心初级中学日 期：2016年11月10日24.1.4 圆周角教学设计一、前端分析（一）教材内容分析本节课内容是圆周角概念，圆周角定理及其推论圆当中有两类重要的角：圆心角和圆周角。顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理是一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系，通过圆心角，把圆周角与相应的弧、弦联系起来。圆有关的计算，在圆中证明角、弦、弧相等和圆中有关计算等数学问题往往要利用圆周角定理及其推论，圆周角定理是圆心角、弧、弦之间关系的继续。圆周角定理证明，渗透分类讨论思想、转化思想、从特殊到一般的思想。在以上的分析的基础上，我把本节课的教学重点确定为：圆周角定理。（二）学习者特征分析因为圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部，所以圆周角定理要分情况证明。之前学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对分类讨论证明命题还不是很熟悉。因此，教学的关键是：、在得出圆周角的定义之后，老师再次让学生动手画圆周角，一方面让学生加深圆周角的了解，另一方面让学生在动手操作中明确圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为分类讨论做好准备。学生通过度量画出的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，用电脑改变圆周角的位置和弧的大小，体会变化中的不变的数量关系，猜想它们之间的数量关系，进一步得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。从圆心在圆周角一边上的特殊情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角一边上的情形。在以上分析的基础上，我本节课的教学难点确定为：分类讨论证明圆周角定理。二、教学目标设计（一）知识与技能：了解圆周角的概念，会证明圆周角定理及其推论。完成目标的标志：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角和圆心角；知道一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等，能够正确识别直径所对的圆周角，并会结合具体问题构造直径所对的圆周角；能够应用定理或推论解决简单问题。（二）过程与方法：结合圆周角定理的探索与证明的过程，进一步体会分了讨论、转化、从特殊到一般的数学思想方法。完成目标的标志：能通过作图、观察、度量、验证、归纳等方式猜想出一条弧所对圆周角是所对圆心角的一般，能根据圆心和圆周角的位置关系对一条弧弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理为什么需要分三种情况；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成圆心在圆周角的边上这一情况，证明定理。（三）情感与价值观：1、通过操作交流等活动，培养学生互相帮助、团结协作、互相讨论的等团队合作精神，体会帮助别人与别人合作带来的快乐。2、培养学生学习数学的兴趣和严谨的思维品质。3、体会用数学思想方法解决生活问题的快乐。完成目标的标志：能通过对定理的发现和证明，体会快乐、思维活跃、积极联想、踊跃回答问题。积极参与教学活动，保持学校的热情。教学重点：圆周角定理教学难点：分类讨论证明圆周角定理。三、教学过程设计教学过程问题驱动教学师生活动设计意图1、了解圆周角的概念问题1 、顶点在圆心的角叫做圆心角。2、 AOB与ACB有什么不同？3、找出下图中所有的圆周角。学生观察图形、比较，教师引导学生结合图形认识到：ACB、ADB、AEB的顶点都在圆上，角的两边都合和圆相交。归纳出定义：“顶点在圆上，并且两边都合圆相交的角，叫做圆周角。（板书）”圆周角和圆心角都是与圆有关的角。结合图形，让学生容易获得圆周角的定义，理解圆周角的概念。4、若上图中AOB=x 度， 则ACB等于多少度？ 学生思考并回答问题。同时呈现有关圆周角的正例与反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性何非本质属性进行比较，巩固对概念的理解。2、探索圆周角定理问题2 接下来请同学们和老师一起画出一个圆周角ACB，并作出弧AB所对的圆心角，分别测量出ACB、AOB的度数，观察它们之间有什么关系？师生共同画出圆O和ACB，并连接OA、OB，得出圆心角AOB教师指出圆周角ACB和圆心角AOB是弧AB所对的圆周角和圆心角。引导学生经历观察、猜想、操作、验证、交流等基本的数学活动，探索出：一条弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。追问2可以激发学生的好奇心，提高学生探索问题的兴趣。教师利用几何画板软件做进一步的验证，在动态的环境中体现圆周角和圆心角的关系，让学生体会在变化的过程中存在的不变的数量关系，从而帮助学生更好的理解一条弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。追问1：圆周角ACB和圆心角AOB之间有什么关系学生通过观察度量，得出“圆周角ACB的度数是圆心角AOB度数的一半。”追问2：如果我们改变圆周角ACB顶点C的位置，圆周角ACB与圆心角AOB的关系是否变化？如果我们改变弧AB的大小，圆周角ACB与圆心角AOB的关系是否变化？学生动手画图、度量、猜想出结论。教师利用几何画板软件度量出圆周角ACB和圆心角AOB度数，拖动C点，改变ACB的位置，观察角的度数，再次改变弧AB的大小。引导学生得出，在演示变化的过程中，圆周角ACB和圆心角AOB的位置和度数发生变化，但它们之间的数量关系不变。追问4：由此同学们可以猜想出什么结论？学生思考猜想：一条弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。（板书）3、圆周角定理的证明问题3：通过作图，电脑验证得出的结论还不够严谨，为了确认结论的正确性，我们还要对上述结论进行严格的证明。那么如何证明上述结论呢？老师指导学生根据题意画出图形，并板书图形。学生动手画图、交流、思考。根据学生画图的情况，教师追问。把直观操作与逻辑推理有机的结合，使得推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，同时明确用完全归纳的方式证明定理，体会分类讨论的必要性。追问1：圆心与角ACB有几种位置关系？是哪几种？学生结合自己所画的图形，容易得出，（1）圆心在圆周角的内部，（2）圆心在圆周角的外部。圆心在在圆周角的边上容易不学生所忽视，老师再次用几何画板拖动圆周角顶点C的位置，让学生观察圆心与圆周角的位置关系。得出（3）圆心在圆周角的边上。教师板书出三种关系的图形。追问2：第情况，圆心在角的边上，是特殊情况，应该如何证明？由学生证明，老师书写证明过程，学生分析第一种情况并得出：教师指出：符号“AB”表示由条件A推出B，可以用“”方式推理过程学生从三个图形认识到，第一种情况容易证明，让学生体会到，解决复杂的问题，可以从特殊情况开始研究再到一般情况，并为解决其他两种情况提供转化的方向。教师追问3：在第种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？证明：如图，连接AO并延长交圆O于点D同理学生独立完成第种情况的证明，从而得出定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。学生思考，尝试解决，如果学生有困难，教师可以提示学生：将第种情况转化成种情况，根据学生的情况，师生共同完成第种情况的证明将一般情况化为特殊情况，体现了转化的数学思想。学生通过证明三种情况，感受分类讨论的必要性，有利于推理能力的提升。4、探究特殊情况，获得推论观察图形：问题4:可以发现，一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？等弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧所对的圆周角相等。（板书）学生观察弧AB对着多个圆周角和圆心角，观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等。再思考等弧的情况。如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论。让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角的推论，进一步认识圆周角何圆心角和弧之间的关系。问题5：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？几何画板演示将弧BC变成半圆，角的两边形成直径，可观察、猜想，根据定理得到结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角。教师进一步引导学生得出：90度的圆周角所对的弦是直径。（板书）由特殊情形进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论。5、应用圆周角定理与推论1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？2、如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（ ）A、50； B、80； C、90； D、1003、如图，ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45由学生解答，教师组织学生交流考虑本课内容灵活性大，有难度，教学内容多，所以先选择一些简单的题目巩固圆周角定理及其推论。6、小结教师与学生一起回顾本节课的主要内容，并请学生回答一下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是如何证明圆周角定理的？在证明的过程中用到了哪些思想方法？（3）我们不仅要学会用数学知识解决实际问题，还要会用数学思维思考遇到的一切问题。学生回顾并总结作答通过小结对课堂内容进行归纳总结，梳理知识点，数学方法，提升本课内容与之前的内容融合。积累数学学习经验7、布置作业课本P88页3、51、了解圆周角的概念主讲教师：根据圆是轴对称图形，我们得出垂径定理；根据圆的旋转不变性，得出弧、弦、圆心角的关系。今天我们继续研究圆的基本性质-圆周角定理。问题1、如图在圆O中，角ACB、角ADB、角AEB的顶点和边有哪些共同的特征？辅讲教师指定学生回答：它们的顶点都在圆上，角的两边都和圆相交。主讲教师：很好！请坐！板书：顶点在圆上，并且两边都合圆相交的角，叫做圆周角。主讲教师：请同学们看到课本88页练习1。辅讲教师指定学生回答：(1)(2)顶点不在圆上，不是圆周角；（3）是圆周角；（4）（5）角的两边并没有与圆相交，不是圆周角。2、探索圆周角定理主讲教师：接下来请同学们和老师一起画一个圆周角ACB，并作出弧AB所对的圆心角。分别角ACB、角AOB的度数，观察它们之间有什么关系？辅讲教师观察学生的作图，并指定学生回答：角ACB等于二分之一角AOB。主讲教师：如果我们改变圆周角ACB顶点C的位置，圆周角ACB圆心角AOB的关系是否变化？如果我们改变弧AB的大小，圆周角ACB与圆心角AOB的关系是否变化？请同学们观察老师演示。（教师用几何画板在白板上演示，学生观察老师演示）教师：在演示变化的过程中，什么改变了，不变的是什么？辅讲教师指定学生回答：圆周角ACB和圆心角AOB的位置和度数发生变化，但它们之间的数量关系不变。主讲教师：很好！请坐！主讲教师：由此同学们可以猜想出什么结论？辅讲教师指定学生回答：一条弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。板书：一条弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。3、圆周角定理的证明主讲教师：通过作图、电脑验证得出的结论还不够严谨。为了确认结论的准确性，我们还要对上述结论进行严格的证明，那么如何证明上述结论呢？请同学们再作一个圆O，并在圆上任取一条弧BC，作出弧BC所对的圆周角BAC，并观察圆心和圆周角的位置关系（一般情况学生只会画出一种情形）。辅讲教师观察学生的作图，并指定一个学生回答主讲教师问题。主讲教师：你的图形中圆心与圆周角是什么位置关系？学生：圆心在圆周角的内部？主讲教师：还有么有别的位置关系？请同学们帮助一下他，举手回答。辅讲教师再指定学生回答：圆心在圆周角的外部。主讲教师：还有么有要补充的？（内部和外部两种情况学生容易得出，但学生容易忽视圆心在角的边上的情况，所以主讲教师要引导学生作图并回答）学生：圆心还可能在圆周角的边上。主讲教师：三位同学请坐下，通过三位同学的回答，可以得出圆心与圆周角有三种位置关系：圆心在圆周角的边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部。板书：主讲教师作出三种情况的图形。主讲教师：第一种情况，圆心在圆周角的边上，是特殊情况，应该如何证明？辅讲教师指定学生回答：主讲教师：在第二种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角是所对圆心角的一半？看样子同学们对第二种情况的证明感觉有点困难，老师给你们作一点提示，将第二种情况转化成第一种情况：连接AO并延长交圆O于D点，这样直线AD把第二种情况分成两种第一种情况。第三种情况的证明由同学们独立完成。经过证明，这个猜想是正确的。我们把塔称为-圆周角定理。定理的证明分三种情况分别证明，这在数学上叫分类讨论的思想。第二三两种情况的证明转化为第一种情况，数学上叫转化思想。这个命题的证明，从特殊情况开始研究再到一般情况，这在数学上叫从特殊到一般。这些思想方法不仅可以用来解决数学问题，还能用来解决生活中的问题。比如，我们考虑问题要全面细致，复杂的问题转化成简单问题，从简单问题入手循序渐进、逐步深入，解决一般情况。所以同学们要用数学的思维考虑和解决生活中遇到的问题，必有不一样的收获。4、探究特殊情况，获得推论下面我们再来探究圆周角定理的特殊情况。可以发现，一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？等弧所对的圆周角之间有什么关系？辅讲教师指定学生回答：同弧或等弧所对的圆周角相等。板书：同弧或等弧所对的圆周角相等。教师用几何画板演示出弧变成半圆，弦变成直径，学生观察圆周角的变化。主讲教师：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？辅讲教师指定学生回答：半圆（或直径）所对的