高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂名师导航学案.docx

3.1.1 分数指数幂名师导航知识梳理 指数与指数幂的运算1.根式的概念 一般地，如果_，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n1，且nN*. 当n是奇数时，正数的n次方根是一个_，负数的n次方根是一个_.此时，a的n次方根用符号_表示.式子叫做根式(radical)，这里n叫做根指数(radical exponent)，a叫做被开方数(radicand).当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为_.此时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号_表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成(a0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作=0. 结论：当n是奇数时，=_; 当n是偶数时，=|a|=2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定：(a0,m、nN*,n1), (a0,m、nN*,n1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a0,r、sQ);(2)(ar)s=ars(a0,r、sQ);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).4.无理数指数幂 结合教材实例利用逼近的思想理解无理数指数幂的意义.指出：一般地，无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.疑难突破 分数指数幂有哪些常用公式? 根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：(1)当n为任意正整数时，()n=a.例如，()3=27，()5=-32.(2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.(3)根式的基本性质：(a0).注意，(3)中的a0十分重要，无此条件则公式不成立.例如:.问题探究问题1 在初中数学中，我们曾经学习过整数指数幂的概念和整数指数幂的运算，你能说出整数指数幂的含义及幂的运算性质吗？探究思路：在初中我们学习过正整数指数幂，正整数指数幂的意义是：一个数a的n次幂表示n个a相乘所得的积.正整数指数幂有五条运算性质：(1)aman=am+n；(2)aman=am-n(a0，mn)；(3)(am)n=amn；(4)(ab)n=anbn；(5)()n=(b0).问题2 什么叫做实数a的n次实数方根？探究思路：一般地，如果一个实数x满足xn=a(n1，nN*)，那么x称为a的n次实数方根.问题3 分数指数幂是怎么定义的？运算性质有哪些？探究思路：一般地，我们规定：(a0，m、nN*，n1).这就是正数a的正分数指数幂的意义.仿照负整数指数幂的意义，我们规定：(a0，m、nN*，n1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.我们将指数幂的概念扩大到有理数指数幂后，有理数幂的运算法则归纳为：(1)arar=ar+s；(2)(ar)r=ars；(3)(ab)r=arbr，a0，b0，r、s为有理数.问题4 n次根式有哪些重要的性质?探究思路：我们知道，如果xn=a，则称x是a的n次实数方根.若a=0，则x=0，即=0，若a0时，当n为正奇数时，x=，其符号与a的符号一致；当n为正偶数时，则a一定大于零，x=，即正数的偶次实数方根有两个，它们互为相反数.根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a的符号.如：-2和，应该先将被开方式底数-2化成2，然后再进行化简.一般地，根式有如下性质：(1)=(2)()n=a(nN*);(3)(n、m、pN*);(4)(m、nN*,a0).对于分数指数幂不能理解为有个a相乘，我们规定(a0，m、nN*，n1).典题精讲例1 计算:(1);(2);(3);(4)(2a+1)0;(5)-1.思路解析 在幂的运算中，首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时如（1）（2）（3），就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便.在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m是否为零进行讨论，因为只有在m0时，m0才有意义；而对于形如()-n的式子，我们一般是先变形为()n，然后再进行运算.解答:(1)=.(2)=0.2-2=()-2=52=25.(3)=.(4)(2a+1)0=(5)-1=()-1=(-)-1=-.例2 化简的结果是( )A. B.-3 C.3 D.9思路解析 先将式子中的根式逐个进行化简，后进行运算便成.原式=-+6=9.答案:D例3 化简:(1);(2)(|x|y|).思路解析 对题（1），要化简的式子中有根式及幂式，可将根式化成幂式，后进行幂的运算；对题（2），要化简的式子中全是指数式的运算，注意运用乘法公式，使其分子、分母能够产生公因式，从而可通过约分化简.答案:(1)=.(2) .|x|y|,原式=()2-+()2-(+)=-2=-.=-.例4 已知a=-,b=,求的值.思路解析 化简求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得代数式的值.首先应化简被求式.解答:a0,原式=.又a-27b0,原式=.知识导学1.指数概念的扩充(1)根式 在初中代数的学习过程中，我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是：如果x3=a，那么x就叫a的立方根.如此类推，便得出了n次实数方根的定义：如果xn=a(nN且n1)，那么x就叫a的n次方根.(2)分数指数幂 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式，并由此引出了正数的正分数指数幂的意义，然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义，从而将指数幂的概念推广到有理数. 除此之外，还可将有理数指数幂推广到实数指数幂，有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.2.指数幂与根式运算的统一性 指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数，根式化为分数指数幂，结果要化为最简形式.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式.如都不是最简形式.3.经常要用的公式(1)a-b()()；(2)a2+b()2；(3)ab()().疑难导析 用语言叙述这三个公式：(1)非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. (2)n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.(3)若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.问题导思 另外规定了a01(a0)、a-n(n为正整数，a0)，这样一来，原来的5条运算律可以归纳为(1)(3)(4)三条，同时将指数幂的概念扩大到了整数. 当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根只有一个，记为x=. 当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号-表示，它们可以合并写成 (a0)的形式. 特别地，0的n次实数方根等于0. 分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样. 应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比，有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化.典题导考绿色通道 在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本原则.熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键.典题变式 计算：(1)-10(-2)-1+()0；(2).解答：(1)原式=+1=+(1025-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.(2)原式=.绿色通道 对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是：先算根号内的，后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如，若a0，则0，若a0，则0；但对根指数为偶数的根式，只有当a0时，才有意义.典题变式 设a0，计算(的结果是( )A.a8 B.a4 C.a2 D.a答案:C绿色通道 (1)进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时，一般是先将根式化成分数指数幂，按指数运算法则计算比较简洁；(2)对根式、分数指数幂的混合运算，最后结果一般用最简根式表示；(3)在指数式的运算中，要注意乘法公式的相应形式，注意灵活运用乘法公式进行化简.典题变式 化简a+的结果是( )A.1 B.2a-1 C.1或2a