平面向量课件.docx

2012高考数学复习知识清单高考数学复习知识清单向量【考查要点】w纵观近几年高考题，对平面向量的考查主要从三个方面入手：向量的基本概念与运算，如向量的线性运算、坐标运算、共线定理、数量积运算、几何意义、模与夹角、平行线、垂直等问题.高考对这方面的考查往往以难度不大的小题形式出现，偶尔也有新颖题出现；向量的工具作用，这是向量的一个主要命题方向，高考试题以向量为载体，考查解析几何、三角函数、曲线与方程等问题.这种题型的题目综合性比较强正余弦定理，一般融入三角函数、向量中，考查三角形的有关知识.整个向量在高考中的分值一般在5左右.三角函数题在近几年的高考试题中有向解三角形拓展的趋向，一般为容易题，安排在解答题的前两题.知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.例1、已知平面向量a= ，b=， 则向量 A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是 “自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积记则=x1x2+y1y2例1、设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为（）（A）（B）（C）（D） (二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：; ;两个向量的数量积: =; ()=()=();(+)=+注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如()2=例1、平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |（A） （B）2 （C）4 （D）12例2、设非零向量、满足，则（A）150B）120 （C）60 （D）30特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。(三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)例1、已知向量a = (2,1)， ab = 10，a + b = ，则b = （A） （B） （C）5 （D）25例2、若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）A BCD两个向量平行的充要条件符号语言：例1、已知向量a、b不共线，cabR),cab,如果cd，那么 （ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向（选择题：多想少算，不择手段；可以用特殊值、元素法）坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在这里,实数是唯一存在的,当与同向时,0；当与异向时,0。|=,的大小由及的大小确定。因此,当,确定时，的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中的几何意义。例2、如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则ABCD 图1例3、已知向量若与平行，则实数的值是（ ）A-2B0C1D2两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 例、已知向量，若向量满足，则 （ ）A B C D 注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. 叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,则=,这就是平面内两点间的距离公式.1、设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域C五边形区域 D六边形区域【平面向量、平面几何、集合】2、在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则等于（A） （B） （C） (D) 三角形、平面向量3、设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， =,则 的值一定等于 A以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积4、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _。. 5、如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， 6、在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边ABDC,ADBC,已知点A(2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为_.7、在中，是边的中点，则 8、已知向量且则向量等于（A） （B）（C）（D）9、若向量与不共线，且，则向量与的夹角为（ ）A0BCD10、若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（ ）ABCD11、在四面体O-ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）. 12、如图，平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且1，.若的值为 . 作业题1如图，正六边形ABCDEF中，（ ）（A）0（B）（C）（D）2已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若为实数，（），则=A B C1 D23若向量，则2a+b与的夹角等于A BCD4向量a,b满足,则A B C D5设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 （R），（R），且,则称，调和分割， ,已知点C（c，o）,D（d，O） （c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上 DC，D不可能同时在线段AB的延长线上6平面向量，共线的充要条件是（ ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，7设是向量，命题“若，则= ”的逆命题是A若，则 B若，则C若，则D若=，则= -8已知向量共线，那么的值为A1 B2 C3 D49、如图，正六边形中，有下列四个命题：ABCD10、其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A. B. C. D.11、已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()