13.4课题学习最短路径的问题.docx

13.4课题学习最短路径问题教学设计 杜尔门沁学校 张娜一、分析1、教学目标：（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想；（2）. 能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟“转化”作用。2、重点难点： 重点：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点 难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短.3、学情分析： 由于八年级学生首次遇到某条线段或线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。4、教材分析： 教科书在这一节中安排了两个问题，分别是“牧马人饮马问题”和“造桥选址问题”，解决这两个问题的关键是通过轴对称和平移等变化把问题转化为关于“两点之间，线段最短”的问题（或“三角形两边之和大于第三边”）问题，在解决这两个问题的过程中渗透了化归的思想。5、教学方法： 采用“引导探究发现”的教学模式，突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台。6、 学法指导： 实践操作、发现法、练习法、合作学习。突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法7、 教学资源： 借助PPT课件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。8、 教学评价： 评价量规：随堂提问、动手实践、操作演练、练习反馈；9、 评价策略： 坚持“及时评价与激励评价相结合，定量化评价与定性化评价相统一”的原则，最大限度地做到面向全体学生，充分关注学生的个性差异，将学生自评、生生互评和教师概括引领、激励测进式点评有机结合，既有即兴评价，又有概要性评价；既有学生的自评，又有师生、生生之间的互评，力求在评价中帮助学生认识自我、建立自信，使其逐步养成独立思考、自主探索、合作交流的学习习惯。二、教学过程教学活动【活动1】创设情境、引入新课请一位同学把你的笔记本拿给老师好吗？谢谢，请问，你刚才为什么要选择从这条路径走，而不是绕外围呢？同学们，你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题：13.4 最短路径问题【活动2】尝试探究，解决问题问题1如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？为什么这样做就能得到最短距离呢？ 教师出示问题1，学生先阅读明确题意。 思考：怎样把这个实际问题抽象为数学问题？已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。（连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。）道理：两点之间，线段最短。总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求问题2相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：看图：从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？做法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B；（2）连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC思考：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C（与点C不重合），证明AC+BCAC+BC？这里的“C”的作用是什么？答：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小教师出示问题2，学生先阅读明确题意。追问1：这是一个实际问题，你打算首先做什么？追问2：你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线）（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）追问3：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？（1）对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.（师讲解做法见左栏）追问4：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？（学生先思考，教师视情况点拨提示，讲解证法） 总结：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同问题3（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。证明：由平移的性质，得BNEM且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DBAM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。 警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、 利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求审题不清导致答非所问教师出示问题3，学生先阅读明确题意。 同上引导学生将实际问题抽象为数学问题，然后引导分析思路，找出方法。思路导引：从A到B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AMBN最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥 总结：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题 在解决