立体几何模拟题doc

2007年广东省各地市高三模拟考试理科数学试卷中的“立体几何”解答题选讲第1题图CDBAPE1（2007佛山一模理）如图，四边形为矩形，且，为上的动点. (1) 当为的中点时，求证：；(2)设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的大小为. 试确定点E的位置.2.（2007佛山二模理）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，,为中点，.() 求证：平面；() 求二面角的正切值； () 求证：平面.ABCA1B1C1D图43（2007广州二模理）如图4所示，在直三棱柱中，是棱的中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值D1A1DB1C1BCAE4.（2007广州一模理）如图5所示，在长方体中，是棱上的点，且 （）求三棱锥的体积；（）求证：平面5（2007揭阳二模理）如图（1）是一棱长为的正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。（）求证：MN平面PBD；（）求点N到平面PDB的距离；（）求二面角PDBM的正切值6（2007汕头一模理）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点。（）求异面直线EF和PB所成角的大小；（）求证：平面PCE平面PBC；（）求二面角EPCD的大小。7（2007汕头二模理）如图，在边长为的菱形中，对角线与交于点，现沿对角线把折起，使的余弦值为（）求证：平面平面；（）若是的中点，求与平面所成角的一个三角函数值8.（2007湛江一模理、东莞二模理）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. （）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；()用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；正视图侧视图俯视图()在（）的情形下,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.9.（2007广州水平测试理) 如图，已知四棱锥的底面是菱形,平面,点为的中点.()求证:平面;()求二面角的正切值.10（2007深圳二模理）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是的交点，且。 （）求证：；（）求直线AB与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。 11（2007肇庆二模理）如图，已知四棱锥PABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点. （）求证二面角EPCD为直二面角；（）求点D到面PEC的距离.12（2007湛江二模理）PABCDMN在四棱锥PABCD中，ADAB，CDAB，PD底面ABCD，直线PA与底面ABCD成60角，点M、N分别是PA、PB的中点.（）求二面角PMND的大小； （）当的值为多少时，CND为直角？2007年广东省各地市高三模拟考试理科数学试卷中的“立体几何”解答题选讲（参考答案）第1题图CDBAPE1（2007佛山一模理）如图，四边形为矩形，且，为上的动点. (1) 当为的中点时，求证：；(2)设，在线段上存在这样的点E，使得二面角的大小为. 试确定点E的位置.1.方法一：(1) 证明：当为中点时，从而为等腰直角三角形，则，同理可得，于是，2分又，且，4分，又，.6分（也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）(2) 如图过作于，连，则，为二面角的平面角. 8分设，则.于是10分，有解之得。点在线段BC上距B点的处. 12分 方法二、向量方法.以为原点，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图. 1分（1）不妨设，则，从而，4分于是，所以所以 6分（2）设，则，则.8分易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则应有 即解之得，令则，从而，10分依题意，即，解之得（舍去），所以点在线段BC上距B点的处.12分 2.（2007佛山二模理）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，,为中点，.() 求证：平面；() 求二面角的正切值； () 求证：平面.2. 解：（），即.2分 又，平面. 4分（）以为原点，建立如图所示的坐标系.则.由于，所以,即. 5分易知为平面的法向量.设平面的法向量为，则即，令 则，即7分二面角的平面角为，则，所以9分（）方法一：如图，连接，交于，取中点，连.在中，分别为中点，则. 11分在中，分别为中点，则. 12分平面平面，又平面，所以平面. 14分（）方法二：如图，连接，交于，取中点，连交于，连.在中，分别为中点，则.10分在中，分别为中点，则为中点. 在中，分别为中点，则.12分又平面，所以平面. 14分（）方法三、以为原点，取为基底，建立空间直角坐标系.则，又E为PC的中点，所以.又，于是.由平面向量共面定理以及 BE不在平面AFC内可得平面14分ABCA1B1C1D图43（2007广州二模理）如图4所示，在直三棱柱中，是棱的中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值3（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）解：，三棱柱为直三棱柱， ，平面2分yzxABCA1B1C1D以为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 4分（），即，平面 7分（）设是平面的法向量，由得取，则是平面的一个法向量 10分又是平面的一个法向量， 12分且与二面角的大小相等由故二面角的余弦值为 14分D1A1DB1C1BCAE4.（2007广州一模理）如图5所示，在长方体中，是棱上的点，且 （）求三棱锥的体积；（）求证：平面4本小题主要考查空间线面关系，考查空间想象能力和推理运算能力. （）解：由， 2分FOD1A1DB1C1BCAE . 6分（）证法一：连AC，底面， 9分， 12分，平面平面平面 14分（）证法二：以点为原点，所在直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，则， ， 8分 ， ，10分， 12分 ，平面，平面，平面 14分5（2007揭阳二模理）如图（1）是一棱长为的正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下面问题。（）求证：MN平面PBD；（）求点N到平面PDB的距离；（）求二面角PDBM的正切值5.解：MN和PB的位置如图示：（）NDMB 且NDMB四边形NDBM为平行四边形MNDB平面PDB,平面PDBMN平面PBD（）设点N平面PDB的距离为h （）解法1：分别取DB、MN中点E、F，连结PE、EF、PF在正方体中，PD=PB四边形NDBM为矩形为二面角PDBM的平面角面 在直角三角形EFP中 （）解法2：以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图示：则点A，P，Q，面ABCD， ,同理可得面PDB又面DBM、分别为平面PDB、平面DBM的法向量6（2007汕头一模理）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点。（）求异面直线EF和PB所成角的大小；（）求证：平面PCE平面PBC；（）求二面角EPCD的大小。6解：以直线AB为x轴，直线AD为y轴，直线AP为z轴建立间直角坐标系，如图，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2） 2分 （）E为AD中点， E（0，1，0） 又F为PC中点，F（1，1，1）， 又 异面直线EF和PB所成角的大小为905分（）由（）知EFPB，又 EFBC。 EF平面PBC，又EFPCE平面 平面PCE平面PBC 9分（）过点D作DHPC于H。在RtPDC中，PD=，DC=2， PC=，则CH=， PH:HC=2:1， 又P（0，0，2），C（2，2，0） 11分 ， 二面角EPCD的大小为30 14分法二：设平面PCE、平面PCD的一个法向量分别是 则 取二面角EPCD的大小为30 14分7（2007汕头二模理）如图，在边长为的菱形中，对角线与交于点，现沿对角线把折起，使的余弦值为（）求证：平面平面；（）若是的中点，求与平面所成角的一个三角函数值7（）证明：菱形ABCD中， tanDAC=,AD=10， OA=8,OD=6 1分翻折后变成三棱椎A-BCD，在ACD中，, 3分在AOC中， 4分AOC=90，即AOOC，又AOBD，OCBD=O，AO平面BCD,又AO平面ABD,平面ABD平面CBD 6分（）解：由（）知OA,OC,OD两两互相垂直，分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建系，则A(0,0,8), B(0,-6,0), C(8,0,0) D(0,6,0) M(0,-3,4)，7分,，8分设平面MCD的一个法向量为，则由 ， 得 ， 10分令y=4，有， 11分设AC与平面MCD所成角为,，13分AC与平面MCD所成角的余弦值为，14分8.（2007湛江一模理、东莞二模理）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形. （）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；()用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1? 如何组拼？试证明你的结论；正视图侧视图俯视图()在（）的情形下,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.8.解：（）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，ABCDC1图1高为CC1=6，故所求体积是 -4分（）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示.-6分证明:面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是 ，故所拼图形成立.-8分ABCDD1A1B1C1图2（）以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系（如图3），正方体棱长为6，则E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）.设向量n=（x，y，z），满足n，n，ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3于是，解得-12分取z=2，得n=（2，-1，2）.又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.-14分9.（2007广州水平测试理) 如图，已知四棱锥的底面是菱形,平面,点为的中点.()求证:平面;()求二面角的正切值.9.()证明: 连结，与交于点，连结.是菱形, 是的中点.点为的中点,.平面平面,平面.()解: 平面,平面,. 又是菱形,. ，平面. 作，垂足为，连接，则,所以为二面角的平面角 ,.在Rt中, = ，.二面角的正切值是. 10分10（2007深圳二模理）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是的交点，且。 （）求证：；（）求直线AB与平面所成角的大小；（）求二面角的大小。 10.解法一：()四边形是正方形， 1分平面平面， BMEDCA又，平面3分平面， 4分平面 5分()连结，平面，是直线与平面所成的角5分设，则， 6分， 即直线与平面所成的角为 8分()过作于，连结 9分HBMEDCA平面，平面是二面角的平面角 10分平面平面，平面在中， ，有由()所设可得， 12分二面角等于 14分解法二: 四边形是正方形 ，平面平面，平面， 2分可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系设，则BMEDCAyxz，是正方形的对角线的交点，4分 () ，6分平面7分() 平面，为平面的一个法向量， 8分， 9分直线与平面所成的角为 10分 () 设平面的法向量为，则且，且 即取，则， 则 12分又为平面的一个法向量，且，设二面角的平面角为，则，二面角等于 14分11（2007肇庆二模理）如图，已知四棱锥PABCD，底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2，E为AB的中点. （）求证二面角EPCD为直二面角；（）求点D到面PEC的距离.11解：法（一）（）如图，取PC、PD的中点F、G，连接EF、FG、AG.PA面ABCD，CD面ACBD，PACD，又ADCD，PAAD=A，CD面PAD，又AG面PAD，CDAG. （2分）AG是等腰直角三角形PAD斜边PD上的中线，AGPD，又 PDAD=D， （3分）AG面PCD. （4分）FG是PCD的中位线，FG平行且等于CD的一半，又AE平行且等于CD的一半，FG平行且等于AE，即四边形AEFG为平行四边.EF/AG， （6分）EF面PCD，又EF面PEC， （7分）面PEC面PCD，即二面角EPCD为直二面角. （8分）（）如图，在RTPCD中DH PD，垂足为H.面PEC面PCD，且DH垂直于它们的交线，DH面PCE，即DH的长度为点D到面PEC的距离. （10分）在RTPCD中，即点D到面PEC的距离. （12分）法（二）：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，0），所以，. （2分）（）设平面PCD的法向量为，由得解得令，得. （4分）设平面PCE的法向量为，由得解得令，得. （6分），二面角EPCD为直二面角. （8分）（）点D到面PEC的距离为d，则，即点D到面PEC的距离. （12分）12（2007湛江二模理）PABCDMN在四棱锥PABCD中，ADAB，CDAB，PD底面ABCD，直线PA与底面ABCD成60角，点M、N分别是PA、PB的中点.（）求二面角PMND的大小； （）当的值为多少时，CND为直角？12（本小题满分14分）解：（）P