数列求通项的方法总结.doc

数列求通项的方法总结 按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列an的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。为大家总结数列求通项的方法，一起来看看吧！ 一、累差法 递推式为：an+1=an+f(n)(f(n)可求和) 思路：:令n=1,2,n-1可得 a2-a1=f(1) a3-a2=f(2) a4-a3=f(3) an-an-1=f(n-1) 将这个式子累加起来可得 an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1) f(n)可求和 an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1) 当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式 例1、已知数列a中,a1=1,an+1=an+2,求an 解：令n=1,2,n-1可得 a2-a1=2 a3-a2=22 a4-a3=23 an-an-1=2n-1 将这个式子累加起来可得 an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1) f(n)可求和 an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1) 当n=1时,a1适合上式 故an=2n-1 二、累商法 递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积） 思路：令n=1,2,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3) an/an-1=f(n-1) 将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2)f(n-1) f(n)可求积 an=a1f(1)f(2)f(n-1) 当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式 例2、在数列an中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an 解：令n=1,2,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3) an/an-1=f(n-1) 将这个式子相乘后可得an/a1=2/13/24/3n/(n-1) 即an=2n 当n=1时，an也适合上式 an=2n 三,构造法 1、递推关系式为an+1=pan+q(p,q为常数) 思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1) 故可将递推式化为an+1+x=p(an+x) 构造数列bn,bn=an+q/(p-1) bn+1=pbn即bn+1/bn=p,bn为等比数列. 故可求出bn=f(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an 例3、(06重庆)数列an中,对于n1(nN)有an=2an-1+3,求an 解：设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3 故可将递推式化为an+3=2(an-1+3) 构造数列bn,bn=an+3 bn=2bn-1即bn/bn-1=2,bn为等比数列且公比为3 bn=bn-13,bn=an+3 bn=43n-1 an+3=43n-1,an=43n-1-1 2、递推式为an+1=pan+qn(p,q为常数) 思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得 an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q 构造数列bn,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q 故可利用上类型的解法得到bn=f(n) 再将代入上式即可得an 例4、数列an中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an 解：在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得 2n+1an+1=(2/3)2nan+1 构造数列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1 故可利用上类型解法解得bn=3-2(2/3)n 2nan=3-2(2/3)n an=3(1/2)n-2(1/3)n 3、递推式为：an+2=pan+1+qan（p,q为常数） 思路：设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan) 也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy=-q 解得x,y，于是bn就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan） 这样就转化为前面讲过的类型了 例5、已知数列an中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)an+1+(1/3)an,求an 解：设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan) 也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=2/3,xy=-1/3 可取x=1,y=-1/3 构造数列bn，bn=an+1-an 故数列bn是公比为-1/3的等比数列 即bn=b1(-1/3)n-1 b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1 an+1-an=(-1/3)n-1 故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/41-(-1/3)n-1(nN*) 例题 1、利用sn和n的关系求an 思路：当n=1时，an=sn 当n2时,an=sn-sn-1 例6、已知数列前项和s=n2+1,求an的通项公式. 解：当n=1时，an=sn2 当n2时,an=sn-sn-1n+1-(n-1)2+1=2n-1 而n=1时，a1=2不适合上式 当n=1时，an=2 当n2时,an=2n-1 2、利用sn和an的关系求an 思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解 例、在数列an中，已知sn=3+2an，求an 解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1) an=2an-1 an是以为公比的等比数列 an=a12n-1=-32n-1 2、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明. 思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明 例8、(xx全国高考)已知数列an中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an 解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6 由此猜想an=n+1，下用数学归纳法证明： 当n=1时，左边2，右边2，左边右边 即当n=1时命题成立 假设当