浅谈数学美感.doc

浅谈数学美感望城六中 陈祥内容提要：本文首先扼要叙述了美感的意义，然后由浅入深地列举说明了数学中常见的几种美。关 键 词：美、图形美、对称美、简洁美、和谐美、结构美、方法美。I 美感是审美主体在接触到美的事物时所引起的一种赏心悦目的情绪体验，是对美的认识、欣赏和评价，是一种审美情感。 审美情感能给学生带来喜悦，激发学生对美的追求心理，进而产生学习兴趣和积极追求的欲望；审美情感能给学生留下生动、鲜明的形象，以便启发学生的抽象思维，引发其科学想象；审美情感能陶冶学生的情操，对学生完美人格的塑造起着潜移默化的作用。II 数学学科特点决定了数学美与其他科学美一样，表现为一种抽象美。要欣赏这种抽象美，需要欣赏者具有较高的文化艺术修养，因此数学美往往不易被人们认识。但数学美是客观存在的，“哪里有数，哪里就有美”。 下面谈谈数学中常见的几种美。 (一)图形美 各种线条有不同的审美特征。一般说，直线显示刚强，折线显示生硬，曲线显得流畅、柔和、灵活多变。各种线条的走向，组合又带有新的感情意味：竖直线体现挺拔，横直线体现平安，斜直线体现有力，垂线给人以稳定、均衡感，平等线意味着安宁、静穆等。 不同的形体具有不同的审美特征。金字塔式的三角形显示稳定，倒三角形显示不安、危险，斜三角形富于变化之美，正方形体现公正大方，圆形则显得完美、柔和。 (二)简洁美 数学用符号与变元来表示有关对象关系，具有简洁、明确的优点。其语言的精炼、形式的整齐可与但丁的诗句相媲美。例如：勾股定理：c2=a2+b2,这一简单而整齐的形式，表达了一切直角三角形边长之间的关系。 又如：“函数”是贯穿中学数学内容的一根红线，不仅是高中数学的中心，而且是初中数学的一个基点。而“函数”概念抓住了实质-数集之间的一种特殊对应，高度抽象而广泛地反映了客观事物及其运动变化。 (三)对称美 对称美是形式美之一，它给人们一种完美匀称的美感。例如：二项展开式的系数，正多面体、圆、正弦定理都具有明显的对称性。 解题过程中如能利用对称性，能使解题方法简洁、明快。 例：已知x, y, z互不相等，且x+1/y=y+1/z=z+1/x，求x2y2z2的值。 分析：由x+1/y=y+1/z可得： 1/(x-y)=yz/(y-z) (1) 由轮换对称性易知： 1/(y-z)=zx/(z-x) (2) 1/(z-x)=xy/x-y) (3) 由(1)(2)(3)三式相乘即得：x2y2z2=1。 (四)和谐美 方法上的对称，形式上的对称，往往容易被感知与理解。但严格的对称，那就显得单调了。所以，艺术里讲：要对称又必须不能完全对称，美在和谐。和谐美，这是形式美的高级形式，又称多样统一美。 黄金分割律这一数学和谐的最佳比例，不仅是构图原则，也是自然生物的最佳条件，例如：植物叶脉的分布，动物身上的色彩和图案都大体符合黄金分割律的比例。 又如：arcsin(sinx)=x, x-/2, /2 arccos(cosx)=x, x0, arctg (tgx) =x, x(-/2, /2) arcctg (ctgx)=x, x(0, ) 前面的公式出现一种整齐划一的对称美，而后面的自变量所属区间各有差异。若能发现它们的共同内涵-相应的反三角函数的值域，这样整体上就和谐了。 (五)结构美 19世纪以来，数学进一步抽象化和运用公理化方法揭示数学系统或分支的内在规律性，从而使得数学理论具有简洁性、条件性和结构上的层次性、和谐性。而中学数学知识系统，原则上也是按公理化和结构思想展开的，因此在总结复习过程中，若能从整体上去理解、把握，你会深深地体会出数学的结构美、层次美。 (六)思想方法美 最美的解答往往是最直观、最简单，也是最出乎意料的。我们来看正面的例子：F 在长方形ABCD中，AB=6，BC=，EF、GH是三等分线，它们与BD分别交于M、N，把此图沿EF、GH折成正三棱柱AEG-CFH，求平面AMN和平面AEG所成的角。DCHFC(D)MHMNENAEGBA(B)G 按常规解法，需要先作辅助面，确定二面角的平面角，然后进行计算。但是如果我们想到面积的射影定理，逆向思考，便可另辟新途，得到下面的巧妙的解法：AMN在平面AEG上的射影就是AEG，容易算得SAEG=，SAMN=2，设所求的角为，则有cos =SAEG/ SAMN=/2, 故所求角=30。这种解法的简单性和奇异性，简直令人感到有一种美的享受。 再看下面的例子： (生日问题)n个人中至少有两个人生日相同的概率是多少？设一年为365天，n365,每个人任“取”一天作为自己的生日。 解：按假定，每个人生日有365种可能，因此n个人共有365n种可能。至少有两个人有相同的生日的概率为： Pn = 1-A(365, n) /365n 看看具体的计算结果：n510152025303540455055Pn0.030.120.250.410.570.710.810.890.940.970.99 366人中至少有两人有相同的生日，这是很明显的必然事件，而55离366如此之远，几乎也可以得出同样的结论，大异于直接经验，这也体现了数学思想方法之美。 广而言之，中学主要基本数学思想-符号化和变元表示思想、集合思想、对应思想、公理化和结构思想、系统与统计思想、化归与辩证思想-无一不闪烁着智慧之光、抽象之美。 数学是一种自然的、真实的美，是反映客观世界并能动地改造客观世界的科学美。参 考 资 料：周孝昌，美育基础，四川教育出版社沈山剑，数学审美直觉及其能力培养，中学数学教学