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第9章 数字电路基础 数字信号是时间上和数值上均离散的一种信号，对该种信号进行传递、处理、运算和存储的电路称为数字电路。这里的运算不仅有普通的算术运算而且有逻辑运算。本章将介绍数字电路的基础知识：数制、编码以及逻辑代数。9.1 数制数制是人们对数量计算的一种统计规律。在日常生活中，我们最熟悉的是十进制，而在数字系统中广泛使用的是二进制、八进制和十六进制。9.1.1几种常用的进位计数制 1. 十进制十进制的数码有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个，进位规律是 “逢十进一”。十进制数3784.25可表示成多项式形式： (3784.25)10310371028101410021015102对任意一个十进制数可表示为： 上式中ai是第i位的系数，它可能是09中的任意数码，n表示整数部分的位数，m表示小数部分的位数，10i表示数码在不同位置的大小，称为位权。 2. 二进制在数字电路中，数以电路的状态来表示。找一个具有十种状态的电子器件比较难，而找一个具有两种状态的器件很容易，故数字电路中广泛使用二进制。二进制的数码只有二个，即0和1。进位规律是 “逢二进一”。二进制数1101.11可以用一个多项式形式表示成： (1101.11)2123122021120121122对任意一个二进制数可表示为： 上式中ai是第i位的系数，它可能是0、1中的任意数码，n表示整数部分的位数，m表示小数部分的位数，2i表示数码在不同位置的大小，称为位权。 3. 八进制和十六进制数用二进制表示一个大数时，位数太多。在数字系统中采用八进制和十六进制作为二进制的缩写形式。八进制数码有8个，即：0、1、2、3、4、5、6、7。进位规律是 “逢八进一”。十六进位计数制的数码是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。进位规律是 “逢十六进一”。不管是八进制还是十六进制都可以象十进制和二进制那样，用多项式的形式来表示。 9.1.2 数制间的转换计算机中存储数据和对数据进行运算采用的是二进制数，当把数据输入到计算机中，或者从计算机中输出数据时，要进行不同计数制之间的转换。1.非十进制数到十进制数的转换非十进制数转换成十进制数一般采用的方法是按权相加，这种方法是按照十进制数的运算规则，将非十进制数各位的数码乘以对应的权再累加起来。 例8-1 将(1101.101)2转换成十进制数。解： (1101.101)2(2322202123)10 (8410.50.125)10 (13.625)10在二进制数到十进制数的转换过程中，要频繁的计算2的整次幂。下面表8-1给出了常用的2的整次幂和十进制数的对应关系，记住这些值，对今后的学习是十分有益的。表8-1 常用的2的整次幂和十进制数的对应关系n-4-3-2-10123456789102n0.06250.1250.250.5124816326412825651210242.十进制数到非十进制数的转换将十进制数转换成非十进制数时，整数部分的转换一般采用除基取余法，小数部份的转换一般采用乘基取整法。 1）十进制整数转换成非十进制整数例8-2将(41)10转换成二进制数。 解： 41/220 余数为1， A01 20/2=10 余数为0， A10 10/2=5 余数为0， A20 5/2=2 余数为1， A30 2/2=1 余数为0， A40 1/2=0 余数为1， A51所以，(41)10(10001)2 2）十进制小数转换成非十进制小数例8-3 将(0.625)10转换成二进制数。 解： 0.625210.25A11 0.25200.5 A20 0.5210 A31所以，(0.625)10(0.101)2由于不是所有的十进制小数都能用有限位R进制小数来表示，因此，在转换过程中可根据精度要求取一定的位数即可。若要求误差小于Rn，则转换取小数点后n位就能满足要求。例8-4将(0.7)10转换成二进制数，要求误差小于26。解： 0.7210.4A11 0.4200.8A20 0.8210.6A31 0.6210.2A41 0.2200.4A50 0.4200.8 A-60所以，(0.7)10(0.101100)2由于最后剩下未转换的部分，即误差在转换过程中扩大了26，所以真正的误差应该是：0.826，满足精度要求。3. 非十进制数之间的转换 （1）二进制数和八进制数之间的转换二进制数的基数是2，八进制数的基数是8，正好有238。因此，任意一位八进制数可以转换成三位二进制数。当要把一个八进制数转换成二进制数时，可以直接将每位八进制数码转换成三位二进制数码。而二进制数到八进制数的转换可按相反的过程进行，转换时，从小数点开始向两边分别将整数和小数每三位划分成一组，整数部分的最高一组不够三位时，在高位补0，小数部分的最后一组不足三位时，在末位补0，然后将每组的三位二进制数转换成一位八进制数即可。 例8-5 将(354.72)8转换成二进制数。解： . 011 101 100 . 111 010所以，(354.72)8(011101100.111010)2例8-6 将(1010110.0101)2转换成八进制数。 解： 001 010 110 . 010 100 1 2 6 . 2 4 所以，(1010110.0101)2(126.24)8 （2）二进制数和十六进制数之间的转换二进制数的基数是2，十六进制数的基数是16，正好有2416。因此，任意一位十六进制数可以转换成四位二进制数。当要把一个十六进制数转换成二进制数时，可以直接将每位十六进制数码转换成四位二进制数码。对二进制数到十六进制数的转换可按相反的过程进行，转换时，从小数点开始向两边分别将整数和小数每四位划分成一组，整数部分的最高一组不够四位时，在高位补0，小数部分的最后一组不足四位时，在末位补0，然后将每组的四位二进制数转换成一位十六进制数即可。例8-7 将(8E.3A)16转换成二进制数。 解： . A 1000 1110 . 0011 1010所以，(8E.3A)16(10001110.00111010)2例8-8 将(1011111.101101)2转换成十六进制数。 解： 0101 1111 . 1011 0100 . 所以，(1011111.101101)2(5F.B4)16 （）八进制数和十六进制数之间的转换八进制数和十六进制数之间的转换，直接进行比较困难，可用二进制数作为转换中介，即先转换成二进制数，再进行转换就比较容易了。例8-9 将(345.27)8转换成十六进制数解： . 011 100 101. 010 111 先转换成二进制数。 1110 0101 . 0101 1100 重新分组。 E . C 转换成十六进制数。所以，(345.27)8(E5.5C)16例8-10 将(2B.A6)16转换成八进制数解： . 0010 1011 . 1010 0110 先转换成二进制数。 101 011 . 101 001 100 重新分组。 . 转换成八进制数。所以，(2B.A6)16(53.514)89.2编码用二进制数码表示十进制数或其它特殊信息如字母、符号等的过程称为编码。编码在数字系统中经常使用，例如通过计算机键盘将命令、数据等输入后，首先将它们转换为二进制码，然后才能进行信息处理。9.2.1 有符号二进制数的编码在通常的算术运算中，用“+”表示正数，用“”表示负数。而在数字系统中，则是将一个数的最高位作为符号为，用0表示正数，用1表示负数，这种数称为机器数，而用“+”“”表示的数称为机器数的真值。例如 X1=+1010110 X2=-1011100对应的机器数为 X1=01010110 X2=11011100在数字系统中表示机器数的方法很多，但常用的主要有原码、反码和补码。1. 原码原码是一种非常直观的机器码。在真值的绝对前加符号位。例8-11已知：X1101，Y1011，字长n5，求X和Y的原码。解： X原01101 Y原11011例8-12 已知：X0.1001，Y0.1001，字长n5，求X和Y的原码。解： X原0.1001 Y原1.10012. 反码反码也是计算机中一种常用的编码。反码的编码规律为：正数的符号位用0表示，负数的符号位用1表示，数位部分则是正数同真值一样，负数要将真值的各位按位变反。例8-13 已知：X1111，Y1010，字长n5，求X和Y的原码。解： X反01111 Y反10101例8-14 已知：X0.1011，Y0.1011，字长n5，求X和Y的原码。解： X反0.1011 Y反1.01003. 补码补码是计算机中使用最多的一种编码。正数的补码与原码相同；负数的补码是对应的反码加1。 例8-15已知：X1001，Y1001，字长n5，求X和Y的补码。解： X补01001 Y补10111例8-16 已知：X0.1011，Y0.1011，字长n5，求X和Y的补码。解： X补0.1011 Y补1.0101已知一个数的补码求真值是经常要遇到的问题，有必要对其方法进行探讨。其方法是正数的补码求真值，不必计算，可以直接写出；从负数的补码求真值，和从真值求负数的补码方法一样，可将补码的各数位按位变反，末位加。例8-17 已知：X补01101 Y补10110，求X和Y的真值。解： X1101 Y1010例8-18 已知：X补0.1011 Y补1.1101，求X和Y的真值。解： X0.1011 Y0.0011原码表示简单直观，与真值转换容易，但符号位不能参加运算。在计算机中用原码实现算术运算时，要取绝对值参加运算，符号位单独处理，这对乘除运算是很容易实现的，但对加减运算是非常不方便的，如两个异号数相加，实际是要做减法，而两个异号数相减，实际是要做加法。在做减法时，还要判断操作数绝对值的大小，这些都会使运算器的设计变得很复杂。那么，能否找到一种机器码，使得可以化减为加，运算规则又比较简单呢？答案是肯定的，只要对负数的表示作适当的变换，就可以实现这一目的，补码正是这样一种机器码。在日常生活中，有许多化减为加的例子。例如，时钟是逢12进位，12点也可看作0点。当将时针从10点调整到5点时有以下两种方法：一种方法是时针逆时针方向拨5格，相当于做减法： 1055另一种方法是时针顺时针方向拨7格，相当于做加法： 1071255 (MOD 12)这是由于时钟以12 为模，在这个前提下，当和超过12时，可将12舍去。于是，减5相当于加7。同理，减4可表示成加8，减3可表示成加9，。在数学中，用“同余”概念描述上述关系，即两整数A、B用同一个正整数M (M称为模)去除而余数相等，则称A、B对M同余，记作： AB (MOD M)具有同余关系的两个数为互补关系，其中一个称为另一个的补码。当M12时，5和7，4和8，3和9就是同余的，它们互为补码。从同余的概念和上述时钟的例子，不难得出结论：对于某一确定的模，用某数减去小于模的另一个数，总可以用加上“模减去该数绝对值的差”来代替。因此，在有模运算中，减法就可以化作加法来做。4. 原码、补码、反码三者的比较对原码、补码、反码三者进行比较，可以看出它们之间既有共同点，又有不同之处，为了更好地了解这三种机器码的特点，现总结如下：表8-3 二进制整数真值和原码、反码、补码的对应关系二进制整数原码反码补码+0000000000000000+0001000100010001+0010001000100010+0011001100110011+0100010001000100+0101010101010101+0110011001100110+0111011101110111-0000100011110000-0001100111101111-0010101011011110-0011101111001101-0100110010111100-0101110110101011-0110111010011010-0111111110001001-1000-1000（） 对于正数，三种码的表示形式一样；对于负数，三种码的表示形式不一样。（） 三种码最高位都是符号位，表示正数，表示负数。（） 根据定义，原码和反码各有两种的表示形式，而补码表示有唯一的形式，即在n位字长的定点整数表示中，三种码的有如下的表示形式：原0000 (n个)原1000 (n1个)反0000 (n个)反1111 (n个1)补补0000(n个)（） 原码和反码表示的数的范围是相对于对称的，表示的范围也相同。而补码表示的数的范围相对于是不对称的，表示的范围和原码、反码也不同。这是由于当字长为位时，它们都可以有2n个编码，但原码和反码表示用了两个编码，而补码表示只用了一个编码。于是，同样字长的编码，补码可以多表示一个负数，这个负数在原码和反码中是不能表示的。表8-3给出了字长n4时，二进制整数真值和原码、反码、补码的对应关系。8.2.2 二十进制码（BCD码）二十进制码是用四位二进制码表示一位十进制数的代码，简称为BCD码。这种编码的方法很多，但常用的是8421码、5421码和余3码等。 18421码8421码是最常用的一种十进制数编码，它是用四位二进制数0000到1001来表示一位十进制数，每一位都有固定的权。从左到右，各位的权依次为：23、22、21、20，即8、4、2、1。可以看出，8421码对十进数的十个数字符号的编码表示和二进制数中表示的方法完全一样，但不允许出现1010到1111这六种编码，因为没有相应的十进制数字符号和其对应。表8-4中给出了8421码和十进制数之间的对应关系。表8-4十进制数和8421码之间的对应关系十进制数8421码十进制数8421码000005010110001601102001070111300118100040100910018421码具有编码简单、直观、表示容易等特点，尤其是和ASCII码之间的转换十分方便，只需将表示数字的ASCII码的高几位去掉，便可得到8421码。两个8421码还可直接进行加法运算，如果对应位的和小于10，结果还是正确的8421码；如果对应位的和大于9，可以加上6校正，仍能得到正确的8421码。例8-19 将十进制数1987.35转换成BCD码。 解：1987.35(0001 1001 1000 0111.0011 0101)BCD 2余3码余3码也是用四位二进制数表示一位十进制数，但对于同样的十进制数字，其表示比8421码多0011，所以叫余3码。余3码用0011到1100这十种编码表示十进制数的十个数字符号，和十进制数之间的对应关系如表8-5所示。表8-5 十进制数和余3码之间的对应关系十进制数余3码十进制数余3码00011510001010061001201017101030110810114011191100余3码表示不像8421码那样直观，各位也没有固定的权。但余3码是一种对9的自补码，即将一个余3码按位变反，可得到其对9的补码，这在某些场合是十分有用的。两个余3码也可直接进行加法运算，如果对应位的和小于10，结果减3校正，如果对应位的和大于9，可以加上3校正，最后结果仍是正确的余3码。5421码最高位的权是5，其它类似于8421码，这里就不多讲了。9.2.3 ASCII码ASCII码是美国国家信息交换标准代码(American national Standard Code For Information Interchange)的简称，是当前计算机中使用最广泛的一种字符编码，主要用来为英文字符编码。当用户将包含英文字符的源程序、数据文件、字符文件从键盘上输入到计算机中时，计算机接收并存储的就是ASCII码。计算机将处理结果送给打印机和显示器时，除汉字以外的字符一般也是用ASCII码表示的。表8-6 标准ASCII码字符表 高位 低位 0000010100111001011101110000NULDLESP0Pp0001SOHDC1!1AQaq0010STXDC2“2BRbr0011ETXDC3#3CScs0100EOTDC4$4DTdt0101ENQNAK%5EUeu0110ACKSYN&6FVfv0111BELETB7GWgw1000BSCAN(8HXhx1001HTEM)9IYiy1010LFSUB*:JZjz1011VTESC+;Kk1100FFPS，nn1111SIUS/?O_oDELASCII码包含52个大、小写英文字母，10个十进制数字字符，32 个标点符号、运算符号、特殊号，还有34个不可显示打印的控制字符编码，一共是128个编码，正好可以用7位二进制数进行编码。也有的计算机系统使用由8位二进制数编码的扩展ASCII码，其前128个是标准的ASCII码字符编码，后128个是扩充的字符编码。表11-6给出了标准的7位ASCII码字符表。 9.2.4 可靠性编码表示信息的代码在形成、存储和传送过程中，由于某些原因可能会出现错误。为了提高信息的可靠性，需要采用可靠性编码。可靠性编码具有某种特征或能力，使得代码在形成过程中不容易出错，或者在出错时能发现，有的还能纠正错误。 1.循环码循环码又叫格雷码（GRAY），具有多种编码形式，但都有一个共同的特点，就是任意两个相邻的循环码仅有一位编码不同。这个特点有着非常重要的意义。例如四位二进制计数器，在从0101变成0110时，最低两位都要发生变化。当两位不是同时变化时，如最低位先变，次低位后变，就会出现一个短暂的误码0100。采用循环码表示时，因为只有一位发生变化，就可以避免出现这类错误。循环码是一种无权码，每一位都按一定的规律循环。表8-7给出了一种四位循环码的编码方案。可以看出，任意两个相邻的编码仅有一位不同，而且存在一个对称轴（在7和8之间），对称轴上边和下边的编码，除最高位是互补外，其余各个数位都是以对称轴为中线镜像对称的。表8-7 四位循环码十进制数二进制数循环码0000000001000100012001000113001100104010001105010101116011001017011101008100011009100111011010101111111011111012110010101311011011141110100115111110002. 奇偶校验码为了提高存储和传送信息的可靠性，广泛使用一种称为校验码的编码。校验码是将有效信息位和校验位按一定的规律编成的码。校验位是为了发现和纠正错误添加的冗余信息位。在存储和传送信息时，将信息按特定的规律编码，在读出和接收信息时，按同样的规律检测，看规律是否破坏，从而判断是否有错。目前使用最广泛的是奇偶校验码和循环冗余校验码。奇偶校验码是一种最简单的校验码，它的编码规律是在有效信息位上添加一位校验位，使编码中1的个数是奇数或偶数。编码中1的个数是奇数的称为奇校验码，1的个数是偶数的称为偶校验码。表8-8 数字0到9的ASCII码的奇校验码和偶校验码十进制数ASCII码奇校验码偶校验码001100001011000000110000101100010011000110110001201100100011001010110010301100111011001100110011401101000011010010110100501101011011010100110101601101101011011000110110701101110011011110110111801110000011100010111000901110011011100100111001奇偶校验码在编码时可根据有效信位中1的个数决定添加的校验位是1还是0，校验位可添加在有效信息位的前面，也可以添加在有效信息位的后面。表8-8给出了数字0到9的ASCII码的奇校验码和偶校验码，校验位是添加在ASCII码的前面。在读出和接收到奇偶校验码时，检测编码中1的个数是否符合奇偶规律，如不符合则是有错。奇偶校验码可以发现错误，但不能纠正错误。当出现偶数个错误时，奇偶校验码也不能发现错误。9.3逻辑代数基础逻辑代数是英国数学家乔治.布尔(George Boole)在19世纪中叶（1848年）研究思维规律时首先提出来的，因此又称其为布尔代数。1938年布尔代数首次用于电话继电器开关电路的设计，所以又称它为开关代数。目前逻辑代数已成为数字系统分析和设计的重要工具。9.3.1 逻辑代数的特点和基本运算逻辑代数是研究因果关系的一种代数，和普通代数类似,可以写成下面的表达形式Y=F(A、B、C、D)逻辑变量A、B、C和D称为自变量，Y称为因变量，描述因变量和自变量之间的关系称为逻辑函数。但它有与普通代数不同的两个特点：第一，不管是变量还是函数的值只有“0”和“1”两个，且这两个值不表示数值的大小，只表示事物的性质、状态等。在逻辑电路中，通常规定1表代高电平，0代表低电平，是正逻辑。如果规定0代表高电平，1低电平代表，则称为负逻辑。在以后如不专门声明时，指的都是正逻辑。第二，逻辑函数只有三种基本运算，它们是与运算、或运算和非运算。图8-1 逻辑与的例子 表8-9 逻辑与运算ABF0000101101111. 与运算 FAB与运算的规则可用表8-9说明，该表称为真值表，它反映所有自变量全部可能的组合和运算结果之间的关系。真值表在以后的逻辑电路分析和设计中是十分有用的。逻辑函数可以用逻辑表达式、逻辑电路、真值表、卡诺图等方法表示。与运算的例子在日常生活中经常会遇到，如图8-1所示的串联开关电路，灯F亮的条件是开关A和B都必须接通。如果开关闭合表示1，开关断开表示0；灯亮表示1，灯灭表示0。则灯和开关之间的逻辑关系可表示为FAB。2. 或运算 FAB或运算的规则可用表8-10说明，即有1出1，全0出0。这一结论也适合于有多个变量参加的或运算。或运算的例子在日常生活中也会经常会遇到，如图8-2，灯F亮的条件是只要有一个开关或一个以上的开关接通就可以。灯和开关之间的逻辑关系可表示为FAB。图8-2 逻辑或的例子表8-10 逻辑或运算ABF0000111011113.非运算 图8-3 逻辑非的例子非运算的真值表如表8-11所示，既见1出0，见0出1。图8-3反映了灯F和开关A之间的非运算关系。如果闭合开关，灯则不亮；如果断开开关，灯则会亮。表8-11 逻辑非运算AF01109.3.2逻辑代数的基本公式和规则逻辑代数的基本公式对于逻辑函数的化简是非常有用的。大部分逻辑代数的基本公式的正确性是显见的，以下仅对不太直观的公式加以证明。1. 基本公式 （1） 01律 A11 A00（2） 自等律 A0A A1A（3） 互补律 （4） 交换律 ABBA ABBA（5） 结合律 A(BC)(AB)C A(BC)(AB)C（6） 分配律 ABC(AB)(AC) A(BC)ABAC(AB)(AC)=A+AB+AC+BC=A+BC（7） 吸收律 AABA A(AB)A（8） 重迭律 AAA AAA（9） 反演律 （10） 还原律 （11） 包含律2. 运算规则逻辑代数有三个重要的运算规则，即代入规则、反演规则和对偶规则，这三个规则在逻辑函数的化简和变换中是十分有用的。 （1）代入规则代入规则是指：将逻辑等式中的一个逻辑变量用一个逻辑函数代替，则逻辑等式仍然成立。使用代入规则，可以容易地证明许多等式，扩大基本公式的应用范围。 （2）反演规则反演规则是指：如果将逻辑函数F的表达式中所有的“”都换成“”， “”都换成“”， “1”都换成“0”，“0”都换成“1”，原变量都换成反变量，反变量都换成原变量，所得到的逻辑函数就是F的反函数。利用反演规则可以很容易地写出一个逻辑函数的反函数。例8-20 求逻辑函数 FABCD的非。解：根据反演规则有：。（3）对偶规则对偶规则是指：如果将逻辑函数F的表达式中所有的“”都换成“”， “”都换成“”，常量“1”都换成“0”，“0”都换成“1”，所得到的逻辑函数就是F的对偶式，记为F，如果两个逻辑函数相等则对偶式也相等。利用对偶规则可以使逻辑函数证明简单化。9.3.3常用逻辑门电路能实现逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。与门、或门和非门电路是最基本的门电路，可分别完成与、或、非逻辑运算。1与门电路与门电路用图8-4所示的逻辑符号表示，图（a）为国内以前使用的符号，图（b）为国际常用的符号，图（c）为国标符号（以下各图类似）。输入端只要有一个为低电平时，输出端就为低电平；只有输入端全是高电平时，输出端才是高电平。 图8-4 与门的逻辑符号2或门电路或门电路用图8-5所示的逻辑符号表示，当输入端有一个或一个以上为高电平时，输出端就为高电平；只有输入端全是低电平时，输出端才是低电平。图8-5 或门的逻辑符号3非门电路非门电路用图8-6所示的逻辑符号表示，具有一个输入端和一个输出端，当输入端是低电平时，输出端是高电平；而输入端是高电平时，输出端是低电平。图8-6 非门的逻辑符号在实际应用中，利用与门、或门和非门之间的不同组合可构成复合门电路，完成复合逻辑运算。常见的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或门电路。4.与非门电路与非门电路相当于一个与门和一个非门的组合，可完成以下逻辑表达式的运算：与非门电路用图8-7所示的逻辑符号表示，对与非门完成的运算分析可知，与非门的功能是，仅当所有的输入端是高电平时，输出端才是低电平。只要输入端有低电平，输出必为高电平。图8-7 与非门的逻辑符号5.或非门电路或非门电路相当于一个或门和一个非门的组合，可完成以下逻辑表达式的运算：或非门电路用图8-8所示的逻辑符号表示。对或非门完成的运算分析可知，仅当所有的输入端是低电平时，输出端才是高电平。只要输入端有高电平，输出必为低电平。图8-8 或非门的逻辑符号6.与或非门电路与或非门电路相当于两个与门、一个或门和一个非门的组合，可完成以下逻辑表达式的运算： (a) (b ) (c)图8-9 与或非门的逻辑符号与或非门电路用图8-9所示的逻辑符号表示。对与或非门完成的运算分析可知，与或非门的功能是将两个与门的输出或起来后变反输出。与或非门电路也可以由多个与门和一个或门、一个非门组合而成，从而具有更强的逻辑运算功能。以上三种复合门电路都允许有两个以上的输入端。4.异或门电路异或门电路可以完成逻辑异或运算，运算符号用“”表示。异或运算逻辑表达式为：异或运算的规则如下：对异或运算的规则分析可得出结论：当两个变量取值相同时，运算结果为0；当两个变量取值不同时，运算结果为1。如推广到多个变量异或时，当变量中1的个数为偶数时，运算结果为0；1的个数为奇数时，运算结果为1。异或门电路用图8-10所示的逻辑符号表示，表8-5说明逻辑表达式：也可完成异或运算。要指出的是，异或运算也可以用与、或、非运算的组合完成。 (a) (b ) (c)图8-10 异或门的逻辑符号表8-12 异或运算真值表ABF AB00000111101111007.同或门电路同或门电路用来完成逻辑同或运算，运算符号是“”。同或运算的逻辑表达式为：FAB同或运算的规则正好和异或运算相反，同或门电路用图8-11所示的逻辑符号表示。 ABFAB=FABF 图8-11 同或逻辑符号9.3.4最小项和最小项表达式1最小项如果一个具有n个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。对两个变量A、B来说，可以构成四个最小项：；对三个变量A、B、C来说，可构成八个最小项：、ABC；同理，对n个变量来说，可以构成2 n个最小项。为了叙述和书写方便，最小项通常用符号mi表示，i是最小项的编号，是一个十进制数。确定i的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A、B、C、D 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，对三变量的最小项来说，ABC的编号是7符号用m7表示，的编号是5符号用m5表示。 2最小项表达式如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。例如： 是一个四变量的最小项表达式。对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如： 要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为1的各个最小项相或就可以了。例8-21 已知三变量逻辑函数：FABBCAC，写出F的最小项表达式。解：首先画出F的真值表，如表8-13所示，将表中能使F为1的最小项相或可得下式： 表8-13 FABBCACABCF=ABBCAC000000100100011110001011110111119.3.5逻辑函数的化简逻辑函数的表达式和逻辑电路是一 一对应的，表达式越简单，用逻辑电路去实现也越简单。在传统的设计方法中，通常以与或表达式定义最简表达式，其标准是表达式中的项数最少，每项含的变量也最少。这样用逻辑电路去实现时，用的逻辑门最少，每个逻辑门的输入端也最少。另外还可提高逻辑电路的可靠性和速度。在现代设计方法中，多采用可编程的逻辑器件进行逻辑电路的设计。设计并不一定要追求最简单的逻辑函数表达式，而是追求设计简单方便、可靠性好、效率高。但是，逻辑函数的化简仍是需要掌握的重要基础技能。逻辑函数的化简方法有多种，最常用的方法是逻辑代数化简法和卡诺图化简法。1. 逻辑代数化简法逻辑代数化简法就是利用逻辑代数的基本公式和规则对给定的逻辑函数表达式进行化简。常用的逻辑代数化简法有吸收法、消去法、并项法、配项法。（）利用公式：AABA，吸收多余的与项进行化简。例如： （）利用公式：，消去与项中多余的的因子进行化简。例如： （）利用公式： ，把两项并成一项进行化简。例如： （）利用公式：，把一个与项变成两项再和其他项合并进行化简。例如： 有时对逻辑函数表达式进行化简，可以几种方法并用，综合考虑。例如： 在这个例子中就使用了配项法和并项法两种方法。.卡诺图化简法采用逻辑代数法化简，不仅要求熟练掌握逻辑代数的公式，且需具有较强的化简技巧。卡诺图化简法简单、直观、有规律可循，当变量较少时，用来化简逻辑函数是十分方便的。 （1）卡诺图 ( a ) ( b ) ( c )图2.13 二变量卡诺图 ( a ) ( b ) （c） 图8-12 二变量卡诺图卡诺图其实质是真值表的一种特殊排列形式，二至四变量的卡诺图如图8-12至如图8-14所示 。n个变量的逻辑函数有2n个最小项，每个最小项对应一个小方格，所以，n个变量的卡诺图由2n个小方格构成，这些小方格按一定的规则排列。图8-13 三变量卡诺图在图8-12卡诺图的上边线，用来表示小方格的列，第一列小方格表示A的非，第二列小方格表示A；变量B为另一组，表示在卡诺图的左边线，用来表示小方格的行，第一行小方格表示B的非，第二行小方格表示B。如果原变量用1表示，反变量用0表示，在卡诺图上行和列的交叉处的小方格就是输入变量取值对应的最小项。如每个最小项用符号表示，则卡诺图如图8-12（b）所示，最小项也可以简写成编号，如图8-12（c）所示。图8-14 四变量卡诺图图8-13和图8-14也类似。分析卡诺图可看出它有以下两个特点：1）相邻小方格和轴对称小方格中的最小项只有一个因子不同，这种最小项称为逻辑相邻最小项；2）合并2k个逻辑相邻最小项，可以消去k个逻辑变量。 （2）逻辑函数的卡诺图表示用卡诺图表示逻辑函数时，可分以下几种情况考虑。1）利用真值表画出卡诺图如果已知逻辑函数的真值表，画出卡诺图是十分容易的。对应逻辑变量取值的组合，函数值为1时，在小方格内填1；函数值为0时，在小方格内填0（也可以不填）。例如逻辑函数F1的真值表如表8-14所示，其对应的卡诺图如图8-15所示。图8-15 逻辑函数F1的卡诺图表8-14 逻辑函数F1真值表ABCF100010010010101101001101111001110 2）利用最小项表达式画出卡诺图当逻辑函数是以最小项形式给出时，可以直接将最小项对应的卡诺图小方格填1，其余的填0。这是因为任何一个逻辑函数等于其卡诺图上填1的最小项之和。例如对四变量的逻辑函数： 其卡诺图如图8-16所示。3）通过一般与或式画出卡诺图有时逻辑函数是以一般与或式形式给出，在这种情况下画卡诺图时，可以将每个与项覆盖的最小项对应的小方格填1，重复覆盖时，只填一次就可以了。对那些与项没覆盖的最小项对应的小方格填0或者不填。例如三变量逻辑函数： 图8-16 逻辑函数F2的卡诺图 图8-17 逻辑函数F3对应的卡诺图 与项对应的最小项是和，与项对应的最小项是和，与项AC对应的最小项是ABC和。逻辑函数F3的卡诺图如图8-17所示。如果逻辑函数以其他表达式形式给出，如或与式、与或非、或与非形式，或者是多种形式的混合表达式，这时可将表达式变换成与或式再画卡诺图，也可以写出表达式的真值表，利用真值表再画出卡诺图。 （3）用卡诺图化简逻辑函数的过程用卡诺图表示出逻辑函数后，化简可分成二步进行：第一步是将填1的逻辑相邻小方格圈起来，称为卡诺圈。第二步是合并卡诺圈内那些填1的逻辑相邻小方格代表的最小项，并写出最简的逻辑表达式。 画卡诺圈时应注意以下几点： 1）卡诺圈内填1的逻辑相邻小方格应是2k。2）填1的小方格可以处在多个卡诺圈中，但每个卡诺圈中至少要有一个填1的小方格在其他卡诺圈中没有出现过。3）为了保证能写出最简单的与或表达式，首先应保证卡诺圈的个数最少（表达式中的与项最少），其次是每个卡诺圈中填1的小方格最多（与项中的变量最少）。由于卡诺圈的画法在某些情况下不是唯一的，因此写出的最简逻辑表达式也不是唯一的。4）如果一个填1的小方格不和任何其他填1的小方格相邻，这个小方格也要用一个与项表示，最后将所有的与项或起来就是化简后的逻辑表达式。 （4）卡诺图化简逻辑函数举例例8-22 已知逻辑函数的真值表如表8-15所示，写出逻辑函数的最简与或表达式。 解：首先根据真值表画出卡诺图，将填有1并具有相邻关系的小方格圈起来，如图8-18所示，根据卡诺图可写出最简与或表达式： 图8-18 例8-22的卡诺图表8-15 例8-22真值表ABCF00000011010001101