三角形、四边形中的动点问题

精品文档 1欢迎下载 1 1 三角形 四边形中的动点问题三角形 四边形中的动点问题 解题思路与方法解题思路与方法 1 关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性 寻找常量和变量 2 化动为静 由一般到特殊 以静制动 3 数学建模 确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型 确定图形运动中的特殊位置关系 时常常建立方程模型 4 关注运动问题的三个要素 运动方向 速度 范围 直线 射线 线段 折线 5 注重分类讨论 通过分别画图与分离图形使问题简单化 6 根据运动元素的不同分为动点问题 动线问题 动图问题三大类型 包括点 线 图同时运动 典例解析典例解析 一 三角形中的动点问题一 三角形中的动点问题 例例 1 1 已知 如图 ABC 是边长 3cm 的等边三角形 动点 P 以 1cm s 的速度从点 A 出发 沿线段 AB 向点 B 运动 设运动时间为 t s 1 如图 1 当 t 为何值时 PBC 是直角三角形 2 如图 2 若另一动点 Q 从点 C 出发 沿射线 BC 方向运动 连接 PQ 交 AC 于 D 如果动点 P Q 都以 1cm s 的速度同时出发 那么 当 t 为何值时 DCQ 是等腰三角形 3 如图 3 若另一动点 Q 从点 C 出发 沿射线 BC 方向运动 连接 PQ 交 AC 于 D 连接 PC 如果动点 P Q 都以 1cm s 的速度同时出发 请探究 在点 P Q 的运动过程中 PCD 和 QCD 的面积是否相等 B C P A Q D B C P A Q D B C P A 精品文档 2欢迎下载 A CQB P 变式题 变式题 已知 如图 ABC 是边长 3cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 方向匀速移动 它们的速度都是 1cm s 当点 P 到达点 B 时 P Q 两点停止运动 设点 P 的运动 时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PBQ 是直角三角形 2 设四边形 APQC 的面积为 y cm2 求 y 与 t 的关系式 是否存在某一时刻 t 使四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的三分之二 如果存在 求出相应的 t 值 若不存在 请说明理由 Q D B C P A Q D B C P A Q D B C P A 精品文档 3欢迎下载 例例 2 2 如图 已知 ABC 中 AB AC 10 厘米 BC 8 厘米 点 D 为 AB 的中点 1 若点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 秒的速度由 B 点向 C 点运动 同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等 1 秒钟时 BPD 与 CQP 是否全等 请说明理由 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等 当点 Q 的运动速度为多少时 能够使 BPD CPQ 2 若点 Q 以 1 中的运动速度从点 C 出发 点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发 都逆时针 沿 ABC 三边运动 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇 变式题 变式题 如图 1 ABC 为等边三角形 动点 D 在边 CA 上 动点 P 边 BC 上 若这两点分别从 C B 点同 时出发 以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动 连接 AP BD 交于点 Q 两点运动过程中 AP BD 可通过证明 得到这个结论 精品文档 4欢迎下载 2 如果把原题中 动点 D 在边 CA 上 动点 P 边 BC 上 改为 动点 D P 在射线 CA 和射线 BC 上运动 其他条件不变 如图 2 所示 两点运动过程中 BQP 的大小保持不变 利用图 2 的情形 求证 BQP 60 3 如果把原题中 动点 P 在边 BC 上 改为 动点 P 在 AB 的延长线上运动 连接 PD 交 BC 于 E 其他条件不变 如图 3 则动点 D P 在运动过程中 DE 始终等于 PE 吗 写出证明过 程 二 特殊四边形中的动点问题二 特殊四边形中的动点问题 例例 3 3 如图 在等腰梯形ABCD中 AB DC AB 12 cm CD 6cm 点P从cmBCAD5 A开始沿AB边向B以每秒 3cm 的速度移动 点Q从C开始沿CD边向D以每秒 1cm 的速度移动 如果点P Q分别从A C同时出发 当其中一点到达终点时运动停止 设运动时间为t秒 1 求证 当t 时 四边形APQD是平行四边形 2 3 2 PQ是否可能平分对角线BD 若能 求出当t为何值时PQ平分BD 若不能 请说明理由 精品文档 5欢迎下载 变式题 变式题 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC B 90 AB 63cm AD 18cm BC 24cm 点 p 从点 A 出发 以 1cm s 的速度向点 D 运动 点 Q 从点 C 同时出发 以 3cm s 的速度向点 B 运动 规定其中一个 动点到达端点时 另一个动点也随之停止运动 设运动时间为 t s 1 t 为何值时 四边形 ABQP 为矩形 2 t 为何值时 四边形 PQCD 为平行四边形 3 在其它条件不变的情况下 能否通过改变点 Q 的运动速度 使得四边形 PQCD 为菱形 例例 4 4 如图 ABC 中 点 O 为 AC 边上的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的外 角平分线 CF 于点 F 交 ACB 内角平分线 CE 于 E 精品文档 6欢迎下载 A F D P E B Q C 1 试说明 EO FO 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形并证明你的结论 3 若 AC 边上存在点 O 使四边形 AECF 是正方形 猜想 ABC 的形状并证明你的结论 变式题 变式题 1 如图所示 有四个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发 沿着 AB BC CD DA 以同样的速度向 B C D A 各点移动 1 试判断四边形 PQEF 是正方形并证明 2 PE 是否总过某一定点 并说明理由 3 四边形 PQEF 的顶点位于何处时 其面积最小 最大 各是多少 精品文档 7欢迎下载 2 如图所示 在 ABC中 分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边 ABD 等边 ACE 等边 BCF 1 求证 四边形DAEF是平行四边形 2 探究下列问题 只填满足的条件 不需证明 当 ABC满足 条件时 四边形DAEF是矩形 当 ABC满足 条件时 四边形DAEF是菱形 精品文档 8欢迎下载 当 ABC满足 条件时 以D A E F为顶点的四边形不存在 延伸课堂延伸课堂 1 如图 C 为线段 BD 上一动点 分别过点 B D 作 AB BD ED BD 连接 AC EC 已知 AB 5 DE 1 BD 8 设 CD x 1 用含 x 的代数式表示 AC CE 的长 2 请问点 C 满足什么条件时 AC CE 的值最小 3 根据 2 中的规律和结论 请构图求出代数式 的最小值 2 直线 y 3 4x 6 与坐标轴分别交于 A B 两点 动点 P Q 同 时从 O 点出发 同时到达 A 点 运动停止 点 Q 沿线段 OA 运动 精品文档 9欢迎下载 速度为每秒 1 个单位长度 点 P 沿路线 O B A 运动 1 直接写出 A B 两点的坐标 2 设点 Q 的运动时间为 t 秒 OPQ 的面积为 S 求出 S 与 t 之间的函数关系式 3 当 S 48 5 时 求出点 P 的坐标 并直接写出以点 O P Q 为顶点的平行四边形的第四个 顶点 M 的坐标 3 梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD 24cm AB 8cm BC 26cm 动点 P 从点 A 开始 沿 AD 边 以 1 厘米 秒的速度向点 D 运动 动点 Q 从点 C 开始 沿 CB 边以 3 厘米 秒的速度向 B 点运动 已知 P Q 两点分别从 A C 同时出发 当其中一点到达端点时 另一点也随之停止运动 假设 运动时间为 t 秒 问 1 t 为何值时 四边形 PQCD 是平行四边形 2 t 为何值时 线段 AB 与线段 PQ 相等 3 在某个时刻 四边形 PQCD 可能是菱形吗 为什么 4 是否存在 t 值 使 PQ 把直角梯形分成周长相等的两部分 若存在 求出 t 的值 若不存在 请你说明理由 A A B B C C D D P P Q Q 精品文档 10欢迎下载 精品文档 11欢迎下载 4 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 已知 AD AB 3 BC 4 动点 P 从 B 点出发 沿线段 BC 向点 C 作匀速运动 动点 Q 从点 D 出发 沿线段 DA 向点 A 作匀速运动 过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M 交 BC 于点 N P Q 两点同时出发 速度都为每秒 1 个单位长度 当 Q