2015中考复习专题---数学思想方法.doc

2015年中考数学复习专题讲座一：数学思想方法（一）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例1 .1 10（2012德州）已知，则a+b等于（）A3BC2D1考点：解二元一次方程组。专题：计算题。分析：+得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案解答：解：，+得：4a+4b=12，a+b=3故选A点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。例1.2（4分）(2014年山东淄博)当x=1时，代数式ax33bx+4的值是7，则当x=1时，这个代数式的值是（）A7B3C1D7考点：代数式求值菁优网版权所有专题：整体思想分析：把x=1代入代数式求值a、b的关系式，再把x=1代入进行计算即可得解解答：解：x=1时，ax33bx+4=a3b+4=7，解得a3b=3，当x=1时，ax33bx+4=a+3b+4=3+4=1故选C点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键练习（山东淄博本题满分8分）关于x的一元二次方程有实根.（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，求出该方程的根；求的值.考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。 例2 （2012内江）已知A（1，5），B（3，1）两点，在x轴上取一点M，使AMBM取得最大值时，则M的坐标为 考点：一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。分析：作点B关于x轴的对称点B，连接AB并延长与x轴的交点，即为所求的M点利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标解答：解：如图，作点B关于x轴的对称点B，连接AB并延长与x轴的交点，即为所求的M点此时AMBM=AMBM=AB不妨在x轴上任取一个另一点M，连接MA、MB、MB则MAMB=MAMBAB（三角形两边之差小于第三边）MAMBAMBM，即此时AMBM最大B是B（3，1）关于x轴的对称点，B（3，1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B（3，1）代入得：，解得， 直线AB解析式为y=2x+7令y=0，解得x=，M点坐标为（，0）故答案为：（，0）点评：本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题可见学习知识要活学活用，灵活变通考点三：分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏例3 （2012黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？考点：一次函数的应用。分析：当x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜，当x35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可解答：解：设总人数是x，当x35时，选择两个宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜；当x45时，甲宾馆的收费是：y甲=35120+0.9120（x35），即y甲=108x+420；y乙=45120+0.8120（x45）=96x+1080，当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55；总之，当x35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的；当35x55时，选择甲宾馆比较便宜；当x55时，选乙宾馆比较便宜点评：此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法例4 （2012丽水）在ABC中，ABC=45，tanACB=如图，把ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E（1）求AC所在直线的函数解析式；（2）过点O作OGAC，垂足为G，求OEG的面积；（3）已知点F（10，0），在ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：一次函数综合题。分析：（1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；（2）在RtOGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；（3）分两种情况讨论求解：点Q在AC上；点Q在AB上求直线OP与直线AC的交点坐标即可解答：解：（1）在RtOCE中，OE=OCtanOCE=，点E（0，2）设直线AC的函数解析式为y=kx+，有，解得：k=直线AC的函数解析式为y=（2）在RtOGE中，tanEOG=tanOCE=，设EG=3t，OG=5t，OE=t，得t=2，故EG=6，OG=10，SOEG=（3）存在当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，作FOQ的角平分线交CE于点P1，由OP1FOP1Q，则有P1Fx轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，y=，点P1（10，）当点Q在AB上时，如图2，有OQ=OF，作FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q作QHOB于点H，设OH=a，则BH=QH=14a，在RtOQH中，a2+（14a）2=100，解得：a1=6，a2=8，Q（6，8）或Q（8，6）连接QF交OP2于点M当Q（6，8）时，则点M（2，4）当Q（8，6）时，则点M（1，3）设直线OP2的解析式为y=kx，则2k=4，k=2y=2x解方程组，得P2（）；当Q（8，6）时，则点M（1，3），同理可求P2（），P3（）；如图，有QP4OF，QP4=OF=10，点P4在E点，设P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为x10，yQ=yP，直线AB的函数解析式为y=x+14，（x10）+14=x+2，解得：x=，可得：y=，点P4（，），当Q在BC边上时，如图，OQ=OF=10，点P5在E点，P5（0，2），综上所述，满足条件的P点坐标为（10，）或（）或（）或（，）或（0，2）点评：此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大例5（2014上海市本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,2)（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t3，如果BDP和CDP的面积相等，求t的值解析：第一小问基础题，考查二次函数的表达式和对称轴，把两个点带入，解二元一次方程组即可，对称轴在求出二次函数表达式之后可直接写出；第二小问考查了初中数学中一种重要的数学思想分类讨论，本题以梯形的性质即有一组对边平行为要点，即分别以直线AC、直线AE、直线CE为边做平行线，分三种情况讨论。过C以AE直线作平行线，可求出点P（、-2），但这种情况不符合梯形ACEP题意，需要舍去，是易错点。过点E作AC的平行线，这种情况不存在，因此最后只有一种情况，人后利用几何或代数方法都能很快求出；第三小问考查的是同底等高问题，近几年中考试题中未曾出现，但平时模拟考中出现较多，属于常规题型，且解法和第二小问相近。例6.（12分）（2013 德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似点P的坐标；是否存在一点P，使PCD得面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当CEF=90时，当CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据SPCD=SPCN+SPDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论解答：解：（1）在RtAOB中，OA=1，tanBAO=3，OB=3OA=3DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1，A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式为，解得：抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）抛物线的解析式为y=x22x+3，对称轴l=1，E点的坐标为（1，0）如图，当CEF=90时，CEFCOD此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（1，4）；当CFE=90时，CFECOD，过点P作PMx轴于点M，则EFCEMP，MP=3EMP的横坐标为t，P（t，t22t+3）P在二象限，PM=t22t+3，EM=1t，t22t+3=3（1t），解得：t1=2，t2=3（与C重合，舍去），t=2时，y=（2）22（2）+3=3P（2，3）当CEF与COD相似时，P点的坐标为：（1，4）或（2，3）；设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得