正、余弦函数的图象与性质.doc

正、余弦函数的图象与性质知识回顾2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：，8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，Pvx y A O M T 9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线：，12、同角三角函数的基本关系：；13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限函数性质14、正弦函数、余弦函数的图象与性质： 图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴考点例题精讲考点一：正余弦函数图象的应用例1利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合： 解：作出正弦函数y=sinx，x0，2的图象：由图形可以得到，满足条件的x的集合为： 解：作出余弦函数y=cos，x0，2的图象： 由图形可以得到，满足条件的x的集合为：考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y1+ (2)y解：(1)由1sinx0，得sinx1 即x2k(kZ)原函数的定义域为xx2k，kZ(2)由cosx0得2kx2k(kZ)原函数的定义域为2k，2k(kZ)方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；变式训练21：求下列函数的定义域和值域解 (1)要使lgsinx有意义，必须且只须sinx0，解之，得 2kx(2k+1)，kZ又0sinx1， -lgsinx0定义域为(2k，(2k+1)(kZ)，值域为(-，0变式训练22（选做）：求函数y的值域解：由已知：cosxcosx1()213y22y80 2y ymax，ymin2求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域；化为求的值域；化为关于（或）的二次函数式；考点三：求正余弦函数的周期例3 求下列函数的周期：(1)y3cosx，xR；(2)ysin2x，xR；(3)y2sin(x)，xR解：(1)ycosx的周期是2只有x增到x2时，函数值才重复出现y3cosx，xR的周期是2(2)令Z2x，那么xR必须并且只需ZR，且函数ysinZ，ZR的周期是2即Z22x22(x)只有当x至少增加到x，函数值才能重复出现ysin2x的周期是(3)令Zx，那么xR必须并且只需ZR，且函数y2sinZ，ZR的周期是2，由于Z2(x)2 (x4)，所以只有自变量x至少要增加到x4，函数值才能重复取得，即T4是能使等式2sin (xT)2sin(x)成立的最小正数从而y2sin(x)，xR的周期是4从上述可看出，这些函数的周期仅与自变量x的系数有关方法小结：三角函数的周期问题一般利用的周期为即可。考点四：求正余弦函数的最值例4 求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么(1)ycosx1，xR； (2)ysin2x，xR解：(1)使函数ycosx1，xR取得最大值的x的集合，就是使函数ycosx，xR取得最大值的x的集合xx2k，kZ函数ycosx1，xR的最大值是112(2)令Z2x，那么xR必须并且只需ZR，且使函数ysinZ，ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k，kZ由2xZ2k，得xk即 使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ函数ysin2x，xR的最大值是1变式训练41：求下列函数的最大值与最小值：(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2sinx-1，1，变式训练42（选做）：求函数ysin2xacosxa(0x)的最大值解：y1cos2xacosxa(cosx)2a当0a2时，cosx，ymaxa当a2时，cosx1，ymaxa当a0时，cosx0，ymaxa考点五：利用单调性，比较正余弦函数值的大小例5：比较下列各组数的大小分析 化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小解 (1)sin194=sin(180+14)=-sin14cos160=cos(180-20)=-cos20=-sin700147090，sin14sin70，从而 -sin14-sin70，即sin194cos160而y=cosx在0，上是减函数，故由01.391.471.5可得cos1.5cos1.47cos1.39变式训练51：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0(1)sin()sin()； (2)cos()cos()解：(1)且函数ysinx，x，是增函数sin()sin() 即sin()sin()0(2)cos()coscos cos()coscos0 且函数ycosx，x0，是减函数coscos 即coscos0cos()cos()0考点六：求正余弦函数的单调区间例6：函数ysin(x)在什么区间上是增函数?解：函数ysinx在下列区间上是增函数：2kx2k (kZ)函数ysin(x)为增函数，当且仅当2kx2k 即2kx2k(kZ)为所求变式训练61：求下列函数的单调区间解(1)设u=2x当u(2k-1)，2k(kZ)时，cosu递增；当u2k，(2k+1)(kZ)时，cosu递减变式训练62（选做）：求函数ycosx的单调区间解：由ycosx的图象可知：单调增区间为2k，(2k1)(kZ)单调减区间为(2k1)，2k(kZ)变式训练63（选做）：求函数ysin的单调增区间误解：令ysin在2k，2k(kZ)上递增2k2k解得4kx4k2原函数的单调递增区间为4k，4k2(kZ)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令，忽视了是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令，则u是x的减函数又ysin在2k，2k(kZ)上为减函数，原函数在2k，2k(kZ)上递增设2k2k解得4k2x4k(kZ)原函数在4k2，4k(kZ)上单调递增解法二：将原函数变形为ysin因此只需求siny的减区间即可为增函数只需求sin的递减区间2k2k解之得：4k+2x4k+4(kZ)原函数的单调递增区间为4k2，4k4(kZ)考点七：其他方面的应用（选做）例7 下列函数中是奇函数的为(D)为奇函数，应选(D)函数不具有奇偶性说明：奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视拓展与提高1、函数 的部分图象是2、函数y=xcosx的部分图象是( )3、4、5、方程2sin2x=x3的解的个数为_.6、在