第一轮数学：7.1直线的方程

第七章 直线和圆的方程网络体系总览考点目标定位（1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.（2）掌握两条直线平行与垂直的条件、两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的关系.（3）了解二元一次不等式表示平面区域.（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用.（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法.（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.复习方略指南1.本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程.基本概念重点考查：（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；（2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题等.此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现，每年必考.中心对称与轴对称问题虽然在考试大纲中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好地掌握.2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题的难度较大，一般以解答题形式出现（此类问题下一章重点复习）.3.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力.在复习本章时要注意如下几点：1.要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的混淆，能否分清这两点是学好有向线段的关键2.在解答有关直线的问题时，要注意（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解；（4）要灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算；（5）掌握对称问题的四种基本类型的解法；（6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法7.1 直线的方程知识梳理1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0.可见，直线倾斜角的取值范围是0180.（2）直线的斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan（90）.倾斜角是90的直线没有斜率；倾斜角不是90的直线都有斜率，其取值范围是（，+）.（3）直线的方向向量设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量=（x2x1，y2y1）称为直线的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率.（4）求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率k=tan.公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1x2，则斜率k=.方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.斜率的图象如下图.对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角=90；当x1x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k0时，=arctank，k0时，=+arctank.2.直线方程的五种形式（1）斜截式：y=kx+b.（2）点斜式：yy0=k（xx0）.（3）两点式：=.（4）截距式：+=1.（5）一般式：Ax+By+C=0.点击双基1.直线xtan+y=0的倾斜角是A. B. C. D.解析：k=tan=tan（）=tan且0，）.答案：D2.过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是A. B. C. D.2解析：求出过（1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y=0即得.答案：A3.直线xcosy20的倾斜角范围是A.，）（，B.0，）C.0，D.，解析：设直线的倾斜角为，则tan=cos.又1cos1，tan.0，）.答案：B4.直线y=1与直线y=x+3的夹角为_.解法一：l1：y=1与l2：y=x+3的斜率分别为k1=0，k2=.由两直线的夹角公式得 tan=，所以两直线的夹角为60.解法二：l1与l2表示的图象为（如下图所示）y=1与x轴平行，y=x+3与x轴倾斜角为60，所以y=1与y=x+3的夹角为60.答案：605.下列四个命题：经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程yy0=k（xx0）表示；经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2x1）（xx1）=（y2y1）（yy1）表示；不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；经过定点 A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3解析：对命题，方程不能表示倾斜角是90的直线，对命题，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线.只有正确. 答案：B典例剖析【例1】 已知ABC的三个顶点是A（3，4）、B（0，3）、C（6，0），求它的三条边所在的直线方程.剖析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上，点C在x轴上，于是BC边所在的直线方程用截距式表示，AB所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.解：如下图，因ABC的顶点B与C的坐标分别为（0，3）和（6，0），故B点在y轴上，C点在x轴上，即直线BC在x轴上的截距为6，在y轴上的截距为3，利用截距式，直线BC的方程为+=1，化为一般式为x2y+6=0.由于B点的坐标为（0，3），故直线AB在y轴上的截距为3，利用斜截式，得直线AB的方程为y=kx+3.又由顶点A（3，4）在其上，所以4=3k+3.故k=.于是直线AB的方程为y=x+3，化为一般式为7x+3y9=0.由A（3，4）、C（6，0），得直线AC的斜率kAC=.利用点斜式得直线AC的方程为y0=（x+6），化为一般式为4x+9y+24=0.也可用两点式，得直线AC的方程为=，再化简即可.评述：本题考查了求直线方程的基本方法.【例2】 已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1a2）的直线方程.剖析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：P（2，3）在已知直线上， 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.2（a1a2）+3（b1b2）=0，即=.所求直线方程为yb1=（xa1）.2x+3y（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0.评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.思考讨论 依“两点确定一直线”，那么你又有新的解法吗？提示： 由2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0，知Q1、Q2在直线2x+3y+1=0上.【例3】 一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x4y+3=0的倾斜角的2倍；（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小（O为坐标原点）.剖析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可.解：（1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则2，且tan，tantan2，从而方程为8x15y+6=0.（2）设直线方程为1，a0，b0，代入P（3，2），得12，得ab24，从而SAOBab12，此时，k.方程为2x+3y12=0.评述：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值.深化拓展 若求|PA|PB|及|OA|+|OB|的最小值，又该怎么解呢？提示： 可类似第（2）问求解.闯关训练夯实基础1.直线x2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是A.k1B.k1C.1k1且k0D.k1或k1解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=2k.三角形面积S=xy=k2.又S1，即k21，1k1.又k=0时不合题意，故选C.答案：C2.（2004年湖南，2）设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a、b满足A.a+b=1 B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=0解析：0180，又sin+cos=0，=135，ab=0.答案：D3.（2004年春季北京）直线xy+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是_.解析：k=，即tan=.=30.答案：304.（2005年北京东城区目标检测）已知直线l1：x2y+3=0，那么直线l1的方向向量a1为_（注：只需写出一个正确答案即可）；l2过点（1，1），并且l2的方向向量a2与a1满足a1a2=0，则l2的方程为_.解析：由方向向量定义即得a1为（2，1）或（1，）.a1a2=0，即a1a2.也就是l1l2，即k1k2=1.再由点斜式可得l2的方程为2x+y3=0.答案：（2，1）或（1，） 2x+y3=05.已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，求直线l的方程.解法一：设所求直线l的方程为y=kx+b.k6，方程为y=6x+b.令x=0，y=b，与y轴的交点为（0，b）；令y=0，x=，与x轴的交点为（，0）.根据勾股定理得（）2b237，b6.因此直线l的方程为y=6x6解法二：设所求直线为+=1，则与x轴、y轴的交点分别为（a，0）、（0，b）.由勾股定理知a2b237.又k=6，解此方程组可得a2b237，=6.或a1， a1，b6 b6.因此所求直线l的方程为x+=1或x+=1，即6xy606.在ABC中，已知点A（5，2）、B（7，3），且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.（1）求点C的坐标；（2）求直线MN的方程.解：（1）设点C（x，y），由题意得=0，=0，得x=5，y=3.故所求点C的坐标是（5，3）.（2）点M的坐标是（0，），点N的坐标是（1，0），直线MN的方程是=，即5x2y5=0.培养能力7.某房地产公司要在荒地ABCDE（如下图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.（精确到1 m2）解：如下图，在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划得一块长方形土地，建立如下图所示的直角坐标系，则AB的方程为+=1.设P（x，20x），则长方形面积S=（100x）80（20x） （0x30）.化简得S=x2+x+6000（0x30）.配方，易得x=5，y=时，S最大，其最大值为6017 m2.8.（文）已知点P（1，1），直线l的方程为x2y+1=0.求经过点P，且倾斜角为直线l的倾斜角一半的直线方程.解：设直线l的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，由已知直线l的斜率为tan=及公式tan=，得tan2+2tan1=0.解得tan=或tan=.由于tan=，而01，故0，00.于是所求直线的斜率为k=tan=.故所求的直线方程为y（1）=（）（x1），即（）xy（+1）=0.（理）设直线l的方程是2x+By1=0，倾斜角为.（1）试将表示为B的函数；（2）若，试求B的取值范围；（3）若B（，2）（1，+），求的取值范围.解：（1）若B=0，则直线l的方程是2x1=0，=；若B0，则方程即为y=x+，当B0时，0，=arctan（），而当B0时，0，=+arctan（），arctan （B0），即=f（B）= （B=0），arctan（B0）.（2）若=，则B=0，若，则tan或tan，即（B0）或（B0），2B0或0B.综上，知2B.（3）若B2，则1，0tan1，0；若B1，则2，0tan2，arctan2.综上，知arctan2或0.探究创新9.某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|最小，请你确定A、B两点的最佳位置（不要求作近似计算）. 解：以O为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，建立如下图所示的坐标系.设A（a，0）、B（b，b）（其中a0，b0），则AB的方程为=，即bx（a+b）y+ab=0.10=，a2b2=100（a2+2b2+2ab）100（2+2ab）=200（1+）ab.ab0，ab200（+1）.当且仅当“a2=2b2”时等号成立，而|AB|=，|AB|20（+1）.当a2=2b2，ab=10，时，|AB|取最小值，即a=10，b=10 此时|OA|=a=10，|OB|=10，A、B两点的最佳位置是离市中心O均为10km处.思悟小结直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解；直线方程有五种形式，其中点斜式要熟练掌握，这五种形式的方程表示的直线各有适用范围，解题时应注意不要丢解；含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些.教师下载中心教学点睛1.注意斜率和倾斜角的区别，让学生了解斜率的图象.2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式