数学认知结构的解构和建构

数学认知结构的解构和建构【摘要】扬州市首次统一组织了义务教育学业质量监测，笔者对三年级得分率最低的部分数学试题和学生作答的情况进行了统计分析。在本文中，笔者结合三年级数学试卷得分率最低的四道题目，分析了数学认知结构的变量与特征，并在数学认知结构及其整体框架建构的策略方面，提出了自己的几点想法。【关键词】数学认知结构解构建构2011年11月18日，扬州市教育局统一组织了义务教育学业质量监测首次集中抽样测试（纸笔测试），小学科目为三年级数学、四年级英语和五年级语文。通过对三年级数学质量监测试卷及结果的统计与分析，笔者就其中得分率最低的4道题目作一些剖析，希望引起同行对学生“数学认知结构”的充分关注。一、解构数学认知结构的变量与特征奥苏贝尔认为，认知结构就是学生头脑中的知识结构。曹才翰教授曾明确指出，数学认知结构就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。试题一：现在有50本书，至少再买来（）本，就可以正好平均分给8个小朋友。A.2B.4C.6D.8这道题是整张试卷得分率最低的，学生的错因包括：（1）只考虑到最少，没有兼顾8的倍数；（2）50-2=48（本）正好是8的倍数；（3）只考虑到8的倍数，没有加上50后是8的倍数；（4）8的乘法口诀记忆有误；等等。仅仅对学生的错因进行简单的统计是不够的，我们需要结合数学认知结构的三个变量加以分析与研究。1.可利用性。它涉及学习者原有知识的实质性的内容特征，即在新的学习任务面前，学习者原有的认知结构中是否具有用来同化新知识的适当观念。这道题学生运用了8的乘法口诀，如果学生在提取口诀时发生错误，说明原有数学认知结构的可利用性较差。平时教学引进一个新概念、法则时，应注意它与已有的概念或法则是相容的。2.可辨别性。它涉及学生个人知识的组织特征，即在新的学习任务之前，他的原有知识与新知识之间的异同是否分辨清晰。学生辨别“至少再买来”存在一定障碍，是在50本的基础上加一些，还是减一些，没有清楚地辨别出来。学生原有认知结构中的有关内容是按照一定的结构严密地组织起来的，面对新的任务时，要能清楚地辨别出新旧知识之间的联系和区别，以顺利地实现教材知识结构向学生数学认知结构的转化。3.可巩固性。它涉及学生原有知识的稳定性和清晰性，即原有的认知结构越巩固越有助于促进新的学习。这道题将问题转化成“50+几”的模型，并运用8的乘法口诀和估计的策略，发现56是8的倍数，从而正好平均分给8个小朋友。如果学生原有认知结构中的有关认识不稳定，甚至模糊不清，这种认知结构会影响新旧知识之间的可辨别性，进而影响新知识同原有认知结构之间的相互作用。试题二：下面的算式中，计算正确的是（）。学生的错因主要有：（1）进位忘记加1，比如选A的同学，个位已满十，在十位相加时没有加1；（2）连续进位有错误，比如选B或C的学生，个位满十要向十位进1，十位满二十要向百位进2；（3）竖式计算有困难；等等。统计结果显示，有14.06%的学生选择B。可见，教学时对十位满二十向百位进2的训练仍须加强。学生的数学认知结构主要有以下特点：1.差异性。有些学生习惯于知识经验的纵向组织，体现在竖式的每一位上加减法时很少出错，但进位或退位时总有问题，此类学生应重在进位或退位的强化与训练。有些学生则偏重于横向的编排，这些学生对于进退位记忆清晰，但多位数连加时不够准确，教学时应在这方面给予特别的关爱。2.依赖性。个位相加满十，影响了学生对百位相加满二十的思考。另外，个位进的是1，百位进的是2，这些主客体的不同作用，会改变学生对计算的认识。针对儿童数学认知结构的特性，要特别强调个位与十位或百位的进位数不一样，克服学生思维的依赖。3.再构性。伴随着同化和顺应，学生的数学认知结构不断再构。从最简单的“一位数加法一位数进位加法两位数加法两位数进位加法三位数加法三位数进位加法”及其相应的减法，儿童的数学认知结构呈现出螺旋上升、不断重构与再构的过程。4.生长性。学生要构建属于自己的认知结构，必须要有一个清晰有力的“生长点”。在这个“生长点”上，学生才能自主构建新的认知结构，使新知识在“生长点”上获得新生。实践证明，以最基本的概念为核心不断探索有关知识建立起来的认知结构纲目清楚、主次分明，便于学生深入理解、记忆和再学习。二、建构数学认知结构的框架与策略试题三：学生解答主要存在以下问题：（1）观察不仔细，每幅图中究竟有几位小朋友，仍有部分学生数错；（2）审题有困难，图中干扰信息很多，第一组一共有三位小朋友，“我们组每人要做8朵”与第二组三位小朋友“我们组要做26朵”，信息相互干扰；（3）理解有障碍，“第一组比第二组少做多少朵”，比较量无法正确对应，第一组已知总人数和平均数，第二组知道总朵数，那么3人就是多余的条件，学生在理解上存在障碍。因此，在学生解决问题的过程中，要培养学生的独立审题、理解和感悟数学语言的能力，帮助学生建构数学认知结构的整体框架。所谓数学认知结构的整体框架，是指在数学教学过程中，教师适时地引导学生把已学过的具有内在联系的知识统摄起来加以思考，实现由局部到整体、由分析到综合、由具体到抽象、由感性到理性的飞跃性的认识，从而建构一个整体的知识结构，并进一步内化为学生的认知结构。要建构数学认知结构的整体框架，需要做到：1.及时修补节点。首先要深入了解学生的原有认知结构，编制诊断性的测验，再根据测验结果修补认知结构中缺少或模糊的知识点。上题中，已知第一组做红花的人数和平均每人做的朵数，可求出什么？可以采用综合性的思考方式来诊断学生对这类问题的理解，帮助学生修补知识结构中的节点。2.选取核心知识。教师要合理选择概括程度较高的关键点，将其放在突出的位置，帮助学生树立认知结构的整体“骨架”，选择不同的解题方法和思考策略，让学生根据问题的局部特点发散至整体思考。上题中，学生对“8朵”和“26朵”的理解是关键，如果能够把“8朵”理解成第一组的平均数，把“26朵”理解成第二组的总数，那么，对这个问题的本质也就理解清楚了。3.整体观察情景。学生观察问题情景时，应启发学生在整体框架内来思考问题，采用分析或综合法放在整体问题情景中“发现”思路，促进认知结构的同化和不断分化，最终整体化。观察上图，学生往往被图像本身迷惑，只关注部分信息（小朋友的人数或其中一些数学语言），而没有从整体上观察这幅插图。4.关注逻辑结构。每一个知识点本身都具有一定的逻辑结构，把握数学认知结构的整体，一般有两种方法：其一是提炼概括学生原有的认知结构；其二是适当引伸、拓宽原有的认知结构。结合本题我们可以发现，部分学生对这个问题的理解有独到之处，能够从已知条件或问题出发，可以让他们向全班介绍自己的解题方法，同龄人之间的交流更易达到心灵相通的程度，更切合儿童的最近发展区。试题四：下面列式正确的是（）。A.283=84（元）84+28=112（元）B.283=84（元）C.3-1=2282=56（元）D.1+3=4284=112（元）这道题学生主要存在以下问题：（1）对问题理解有误，将问题理解为“求一件上衣和一条裤子的总钱数”，如选A或D；（2）直接计算了上衣的价格，而问题是求“一件上衣比一条裤子贵多少元”，如选B。要帮助儿童建构数学认知结构，主要策略有：1.发挥已有认知结构的作用。教学要借助学生已有的数学认知结构，进行思维方式的引导，凭借学生的原有认知结构，按照“新知识的成长点新旧知识连接点新知识的切入点”的思路，以旧知识为成长点对新知识的学习产生积极的影响。本题借助“和倍关系”引出“差倍关系”，而解决“差倍关系”既可以先求一份数，再求相差数；也可以先求多倍数，再求相差数。通过与“和倍问题”的比较，有效利用学生已有的认知结构。2.从学生的生活经验出发。对于这题的教学，要从生活中上衣和裤子的价格理解为切入点，把上衣和裤子的单价之间的倍数关系、差数关系理解清楚，然后出示不同的问题让学生思考，从而把“和倍问题”“差倍问题”公式及数量关系分析透彻。因此，把学生的已有经验作为关注点，不创设过于复杂的情境，正是新课标强调的“从生活经验出发”思想的体现。3.充分利用新旧认知的矛盾。学生在建构数学认知结构时，教师要恰当地利用学生新旧认知的矛盾，形成认知冲突，激发学生探索的欲望，从而行走在新旧认知之间。对于这题，可以运用不同问题进行对比，“一件上衣比一条裤子贵多少元？”“一件上衣和一条裤子共多少元？”“一件上衣多少元？”“一条裤子比一件上衣便宜多少元？”等，让学生在不同的问题中追寻旧知与新知的共生点，在新旧认知的不平衡中螺旋上升。教师要充分利用好旧知识的定式干扰，巧妙地设置“陷阱”，引发学生积极主动探究。4.在反思中构建数学认知结构。反